Решите рациональное неравенство (x-1)(x+4)/3-x (дробь) < (меньше или равно) 0

Для решения данного рационального неравенства сначала нужно найти все точки разрыва функции, которые будут корнями уравнения в знаменателе. В данном случае, знаменатель равен 3 - x, следовательно, x ≠ 3.

Далее необходимо определить знак функции в каждом из интервалов, образованных корнями уравнения в знаменателе. Для этого можно использовать тестовую точку в каждом интервале.

Итак, имеем интервалы: (-∞, 3) и (3, +∞).

1. Для интервала (-∞, 3): возьмем, например, x = 0. Подставим его в исходное неравенство: ((0-1)(0+4))/(3-0) < 0. Получаем (-4)/3 < 0, что верно для данного интервала.

2. Для интервала (3, +∞): возьмем, например, x = 4. Подставим его в исходное неравенство: ((4-1)(4+4))/(3-4) < 0. Получаем 24/-1 < 0, что неверно для данного интервала.

Итак, решением данного рационального неравенства будет: x ∈ (-∞, 3].

Чтобы решить рациональное неравенство (\frac{(x-1)(x+4)}{3-x} \leq 0), необходимо выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Найдите область определения

Нам нужно определить, где выражение (\frac{(x-1)(x+4)}{3-x}) определено. Дробь не определена, когда знаменатель равен нулю:

[3 - x = 0 \Rightarrow x = 3.]

Таким образом, область определения: (x \neq 3).

Шаг 2: Найдите нули числителя

Числитель ((x-1)(x+4) = 0) при:

[x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1,] [x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4.]

Шаг 3: Определите знаки на промежутках

Теперь нам нужно определить знаки выражения (\frac{(x-1)(x+4)}{3-x}) на промежутках, определенных точками (x = -4), (x = 1), и (x = 3).

Разобьем числовую прямую на следующие промежутки:

• ((-\infty, -4)),
• ((-4, 1)),
• ((1, 3)),
• ((3, \infty)).

Возьмем тестовые значения из каждого промежутка и определим знак выражения.

1. Для (x \in (-\infty, -4)), возьмем (x = -5): [ \frac{(-5-1)(-5+4)}{3-(-5)} = \frac{(-6)(-1)}{8} = \frac{6}{8} > 0. ]

2. Для (x \in (-4, 1)), возьмем (x = 0): [ \frac{(0-1)(0+4)}{3-0} = \frac{(-1)(4)}{3} = \frac{-4}{3} < 0. ]

3. Для (x \in (1, 3)), возьмем (x = 2): [ \frac{(2-1)(2+4)}{3-2} = \frac{(1)(6)}{1} = 6 > 0. ]

4. Для (x \in (3, \infty)), возьмем (x = 4): [ \frac{(4-1)(4+4)}{3-4} = \frac{(3)(8)}{-1} = \frac{-24}{1} < 0. ]

Шаг 4: Запишите решение

Исходя из анализа знаков, неравенство (\frac{(x-1)(x+4)}{3-x} \leq 0) выполняется на промежутках, где выражение отрицательно или равно нулю:

• На ((-4, 1]) выражение отрицательно, включая точку (x = 1), так как в этой точке числитель равен нулю.
• На ((3, \infty)) выражение также отрицательно.

Следовательно, решение неравенства: [x \in (-4, 1] \cup (3, \infty).]

Итог

Рациональное неравенство (\frac{(x-1)(x+4)}{3-x} \leq 0) имеет решение (x \in (-4, 1] \cup (3, \infty)).