Решите, пожалуйста, уравнение: cos3x+cosx=0

Для решения уравнения ( \cos(3x) + \cos(x) = 0 ) можно воспользоваться формулой суммы косинусов, а также тригонометрическими тождествами.

1. Применим формулу для косинуса тройного угла: [ \cos(3x) = 4\cos^3(x) - 3\cos(x) ] Подставим это выражение в уравнение: [ 4\cos^3(x) - 3\cos(x) + \cos(x) = 0 ] Упростим уравнение: [ 4\cos^3(x) - 2\cos(x) = 0 ]

2. Вынесем общий множитель: [ 2\cos(x)(2\cos^2(x) - 1) = 0 ] Это произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

3. Рассмотрим два случая:

   Случай 1: [ 2\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = 0 ] Значения ( x ), при которых ( \cos(x) = 0 ): [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

   Случай 2: [ 2\cos^2(x) - 1 = 0 \implies \cos^2(x) = \frac{1}{2} \implies \cos(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ] Значения ( x ) для ( \cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2} ): [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] Значения ( x ) для ( \cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ): [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

4. Объединим все найденные решения: [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, полное множество решений уравнения ( \cos(3x) + \cos(x) = 0 ) выглядит следующим образом: [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{7\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Для решения уравнения ( \cos 3x + \cos x = 0 ) можно воспользоваться формулой сложения косинусов:

[ \cos 3x = -\cos x. ]

Используя формулу для ( \cos 3x ): [ \cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x, ] подставим это в уравнение:

[ 4\cos^3 x - 3\cos x + \cos x = 0, ] что упрощается до:

[ 4\cos^3 x - 2\cos x = 0. ]

Вынесем ( 2\cos x ):

[ 2\cos x (2\cos^2 x - 1) = 0. ]

Это дает два уравнения:

1. ( 2\cos x = 0 ) ⇒ ( \cos x = 0 ) ⇒ ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z} ).

2. ( 2\cos^2 x - 1 = 0 ) ⇒ ( \cos^2 x = \frac{1}{2} ) ⇒ ( \cos x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} ) ⇒ ( x = \frac{\pi}{4} + k\pi ) или ( x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z} ).

Таким образом, все решения уравнения:

[ x = \frac{\pi}{2} + k\pi, \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad x = \frac{3\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Рассмотрим уравнение:

[ \cos(3x) + \cos(x) = 0 ]

Решим его по этапам.

Шаг 1. Используем формулу суммы косинусов

Применим тригонометрическую формулу для суммы косинусов:

[ \cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cos\left(\frac{A - B}{2}\right) ]

Здесь ( A = 3x ), ( B = x ). Подставим значения:

[ \cos(3x) + \cos(x) = 2 \cos\left(\frac{3x + x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x - x}{2}\right) ]

Упростим выражения в скобках:

[ \frac{3x + x}{2} = \frac{4x}{2} = 2x, \quad \frac{3x - x}{2} = \frac{2x}{2} = x ]

Таким образом, уравнение становится:

[ 2 \cos(2x) \cos(x) = 0 ]

Шаг 2. Разделяем произведение

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два уравнения:

1) (\cos(2x) = 0)
2) (\cos(x) = 0)

Шаг 3. Решаем каждое уравнение

Уравнение 1: (\cos(2x) = 0)

Косинус равен нулю, если его аргумент равен:

[ 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Разделим обе части на 2:

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Уравнение 2: (\cos(x) = 0)

Косинус равен нулю, если его аргумент равен:

[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Шаг 4. Объединяем решения

Решения из двух уравнений:

1) ( x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n, \quad n \in \mathbb{Z} )
2) ( x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} )

Это два множества решений. Если требуется записать их вместе, оставляем их в виде объединения:

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n, \quad n \in \mathbb{Z}, ] [ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Итоговый ответ:

Решение уравнения:

[ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2}n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad n, k \in \mathbb{Z}. ]