Решите, пожалуйста: Пусть функция y=f(x) возрастает на R. Решите: уравнение: f(2x^2+4x)=f(5x+6) неравенство:...

Чтобы решить уравнение и неравенство, заданные с помощью возрастающей функции ( y = f(x) ), начнем с уравнения:

Уравнение: ( f(2x^2 + 4x) = f(5x + 6) )

Поскольку функция ( f ) является возрастающей, это означает, что если ( f(a) = f(b) ), то ( a ) должно быть равно ( b ). Таким образом, мы можем приравнять аргументы функции:

[ 2x^2 + 4x = 5x + 6 ]

Теперь упрощаем это уравнение:

[ 2x^2 + 4x - 5x - 6 = 0 ]

[ 2x^2 - x - 6 = 0 ]

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49 ]

Теперь найдём корни:

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{4} ]

Таким образом, у нас есть два корня:

[ x_1 = \frac{8}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2} ]

Итак, уравнение ( f(2x^2 + 4x) = f(5x + 6) ) имеет два решения:

[ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -\frac{3}{2} ]

Неравенство: ( f(2x^2 + 4x) > f(5x + 6) )

Теперь рассмотрим неравенство. Поскольку функция ( f ) возрастает, следовательно, если ( f(a) > f(b) ), то ( a > b ). Таким образом, мы можем записать неравенство:

[ 2x^2 + 4x > 5x + 6 ]

Упростим это неравенство:

[ 2x^2 + 4x - 5x - 6 > 0 ]

[ 2x^2 - x - 6 > 0 ]

Мы уже знаем, что корни этого уравнения равны ( x_1 = 2 ) и ( x_2 = -\frac{3}{2} ). Теперь мы можем исследовать знак квадратичной функции ( 2x^2 - x - 6 ) на интервалах, определенных корнями: ( (-\infty, -\frac{3}{2}) ), ( (-\frac{3}{2}, 2) ) и ( (2, +\infty) ).

1. Интервал ( (-\infty, -\frac{3}{2}) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = -2 ): [ 2(-2)^2 - (-2) - 6 = 8 + 2 - 6 = 4 > 0 ] Здесь неравенство выполняется.

2. Интервал ( (-\frac{3}{2}, 2) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = 0 ): [ 2(0)^2 - 0 - 6 = -6 < 0 ] Здесь неравенство не выполняется.

3. Интервал ( (2, +\infty) ): Выберем тестовую точку, например, ( x = 3 ): [ 2(3)^2 - 3 - 6 = 18 - 3 - 6 = 9 > 0 ] Здесь неравенство выполняется.

Таким образом, неравенство ( 2x^2 - x - 6 > 0 ) выполняется на интервалах:

[ (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (2, +\infty) ]

Итог

• Решение уравнения ( f(2x^2 + 4x) = f(5x + 6) ): [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -\frac{3}{2} ]

• Решение неравенства ( f(2x^2 + 4x) > f(5x + 6) ): [ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (2, +\infty) ]

Рассмотрим задачу, в которой необходимо решить уравнение и неравенство, связанные с возрастающей функцией ( y = f(x) ). Подчеркнем, что свойство монотонности ( f(x) ) играет ключевую роль в решении.

Условие:

Функция ( f(x) ) возрастает на множестве ( \mathbb{R} ), то есть: [ x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2). ] Это свойство монотонности означает, что ( f(x_1) = f(x_2) ) выполняется только в случае ( x_1 = x_2 ).

Уравнение: [ f(2x^2 + 4x) = f(5x + 6). ]

Неравенство: [ f(2x^2 + 4x) > f(5x + 6). ]

Решение уравнения

1. Применим свойство монотонности ( f(x) ): Так как ( f(x) ) возрастает, то равенство ( f(a) = f(b) ) возможно только при ( a = b ). Следовательно, из уравнения [ f(2x^2 + 4x) = f(5x + 6) ] следует, что [ 2x^2 + 4x = 5x + 6. ]

2. Приведем уравнение к стандартному виду: Перенесем все слагаемые в одну часть: [ 2x^2 + 4x - 5x - 6 = 0, ] что упрощается до: [ 2x^2 - x - 6 = 0. ]

3. Решим квадратное уравнение: Для решения воспользуемся формулой корней квадратного уравнения: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, ] где ( a = 2 ), ( b = -1 ), ( c = -6 ).

   Найдем дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49. ]

   Тогда корни уравнения: [ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 7}{4}. ]

   Получаем два корня: [ x_1 = \frac{1 + 7}{4} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 7}{4} = -\frac{3}{2}. ]

4. Ответ для уравнения: Решением уравнения является: [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -\frac{3}{2}. ]

Решение неравенства

1. Применим свойство монотонности ( f(x) ): Если ( f(x) ) возрастает, то неравенство ( f(a) > f(b) ) выполняется тогда и только тогда, когда ( a > b ). Следовательно, из неравенства [ f(2x^2 + 4x) > f(5x + 6) ] следует, что [ 2x^2 + 4x > 5x + 6. ]

2. Приведем неравенство к стандартному виду: Перенесем все слагаемые в одну часть: [ 2x^2 + 4x - 5x - 6 > 0, ] что упрощается до: [ 2x^2 - x - 6 > 0. ]

3. Решим квадратное неравенство: Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения ( 2x^2 - x - 6 = 0 ), которые мы уже нашли ранее: [ x_1 = 2, \quad x_2 = -\frac{3}{2}. ]

   Разложим квадратный трёхчлен на множители: [ 2x^2 - x - 6 = 2(x - 2)(x + \frac{3}{2}). ]

   Неравенство принимает вид: [ 2(x - 2)(x + \frac{3}{2}) > 0. ]

4. Определим знаки множителей: Разберем произведение ( (x - 2)(x + \frac{3}{2}) ) на промежутках, разбитых точками ( x = 2 ) и ( x = -\frac{3}{2} ):

   • На промежутке ( x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) ): оба множителя отрицательны, их произведение положительно.
   • На промежутке ( x \in (-\frac{3}{2}, 2) ): множители имеют противоположные знаки, их произведение отрицательно.
   • На промежутке ( x \in (2, +\infty) ): оба множителя положительны, их произведение положительно.

   Знак ( 2(x - 2)(x + \frac{3}{2}) ) совпадает со знаком ( (x - 2)(x + \frac{3}{2}) ), так как ( 2 > 0 ).

5. Запишем решение неравенства: Неравенство ( 2(x - 2)(x + \frac{3}{2}) > 0 ) выполняется на промежутках: [ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (2, +\infty). ]

Итоговые ответы:

1. Решение уравнения: [ x = 2 \quad \text{и} \quad x = -\frac{3}{2}. ]

2. Решение неравенства: [ x \in (-\infty, -\frac{3}{2}) \cup (2, +\infty). ]