Решите пожалуйста: корень из 3*sinx-cosx=1

Для решения уравнения (\sqrt{3} \sin x - \cos x = 1) сначала упростим его, выразив одну из тригонометрических функций через другую.

1. Переносим (\cos x) на правую сторону: [ \sqrt{3} \sin x = \cos x + 1 ]

2. Теперь можно выразить (\cos x) через (\sin x): [ \cos x = \sqrt{3} \sin x - 1 ]

3. Используем основное тригонометрическое тождество: [ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ]

   Подставляем выражение для (\cos x): [ \sin^2 x + (\sqrt{3} \sin x - 1)^2 = 1 ]

4. Раскроем скобки: [ \sin^2 x + (3 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 1) = 1 ]

5. Упрощаем уравнение: [ 4 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x + 1 = 1 ] [ 4 \sin^2 x - 2\sqrt{3} \sin x = 0 ]

6. Вынесем (\sin x) за скобки: [ \sin x (4 \sin x - 2\sqrt{3}) = 0 ]

7. Теперь у нас есть два случая:

   • Первый случай: (\sin x = 0).
   • Второй случай: (4 \sin x - 2\sqrt{3} = 0).

8. Решим первый случай: (\sin x = 0) дает решения: [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ]

9. Решим второй случай: [ 4 \sin x = 2\sqrt{3} ] [ \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2} ]

   Значения (x) для (\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}): [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

10. Объединим все решения: [ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ] [ x = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, у нас есть три типа решений для данного уравнения.

Рассмотрим уравнение:

[ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 1 ]

Шаг 1. Введём замену для упрощения

Мы знаем, что выражения, содержащие синус и косинус, можно преобразовывать с помощью тригонометрической формулы для суммы или разности углов. Представим левую часть уравнения в виде одной тригонометрической функции. Для этого введём угол (\phi), такой что:

[ a \sin x - b \cos x = R \sin(x + \phi), ]

где (R = \sqrt{a^2 + b^2}), а (\phi) определяется формулами:

[ \cos \phi = \frac{a}{R}, \quad \sin \phi = \frac{b}{R}. ]

В нашем случае (a = \sqrt{3}), (b = -1). Тогда:

[ R = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = 2. ]

Найдём (\cos \phi) и (\sin \phi):

[ \cos \phi = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \phi = \frac{-1}{2}. ]

Угол (\phi), удовлетворяющий этим значениям, равен:

[ \phi = -\frac{\pi}{6}. ]

Шаг 2. Перепишем уравнение

Итак, выражение (\sqrt{3} \sin x - \cos x) можно записать как:

[ \sqrt{3} \sin x - \cos x = 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right). ]

Уравнение принимает вид:

[ 2 \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = 1. ]

Шаг 3. Решим уравнение

Разделим обе части на 2:

[ \sin \left( x - \frac{\pi}{6} \right) = \frac{1}{2}. ]

Общее решение уравнения (\sin u = \frac{1}{2}) имеет вид:

[ u = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n \quad \text{или} \quad u = \pi - \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Значение (\arcsin\left(\frac{1}{2}\right)) равно (\frac{\pi}{6}). Тогда:

[ u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad u = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n. ]

Упростим второе выражение:

[ u = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad u = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n. ]

Вернёмся к переменной (x). У нас (u = x - \frac{\pi}{6}). Подставим вместо (u):

[ x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n. ]

Решим относительно (x):

1. В первом случае: [ x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n. ]

2. Во втором случае: [ x = \frac{5\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{6\pi}{6} + 2\pi n = \pi + 2\pi n. ]

Ответ

Общее решение уравнения:

[ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]