Решите пожалуйста 4sin^2x-4sinx+1=0

Для решения уравнения (4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0) можно использовать замену переменной. Обозначим (y = \sin x). Тогда уравнение примет вид:

[4y^2 - 4y + 1 = 0.]

Это квадратное уравнение относительно (y). Его можно решить с помощью дискриминанта. Напомним, что для квадратного уравнения общего вида (ay^2 + by + c = 0) дискриминант (D) вычисляется по формуле:

[D = b^2 - 4ac.]

В данном случае (a = 4), (b = -4), (c = 1). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

[D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 16 - 16 = 0.]

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень (двукратный). Корень квадратного уравнения находится по формуле:

[y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.]

При (D = 0) формула упрощается до:

[y = \frac{-b}{2a}.]

Подставим наши значения:

[y = \frac{-(-4)}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.]

Теперь вернемся к исходной переменной: (\sin x = \frac{1}{2}).

Решим тригонометрическое уравнение (\sin x = \frac{1}{2}). Значение (\sin x = \frac{1}{2}) достигается при:

[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,]

где (k) — любое целое число.

Таким образом, общее решение уравнения (4\sin^2 x - 4\sin x + 1 = 0) имеет вид:

[x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k,]

где (k \in \mathbb{Z}).

Данное уравнение не имеет решений, так как дискриминант квадратного уравнения равен отрицательному числу.

Для решения данного уравнения сначала заменим sin(x) на t. Тогда уравнение примет вид:

4t^2 - 4t + 1 = 0

Далее решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

D = (-4)^2 - 441 = 16 - 16 = 0

D = 0, значит уравнение имеет один корень. Найдем его:

t = -(-4) / (2*4) = 4 / 8 = 1 / 2

Теперь найдем обратную замену:

sin(x) = 1 / 2

x = arcsin(1 / 2) + 2πn, где n - целое число

x = π/6 + 2πn

Таким образом, корни уравнения 4sin^2x - 4sinx + 1 = 0 равны x = π/6 + 2πn.