Решите неравенство x^2-8x+16/x^2-3x-10 > 0

Для решения данного неравенства $\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10}>0$, начнем с определения корней числителя и знаменателя.

1. Разложение числителя: Числитель $x^2-8x+16$ можно представить как $(x-4$^2), так как: $x^2-8x+16=(x-4{)}^2$ Это выражение равно нулю при $x=4$.

2. Разложение знаменателя: Знаменатель $x^2-3x-10$ можно разложить на множители: $x^2-3x-10=(x-5)(x+2)$ Знаменатель равен нулю при $x=5$ и $x=-2$.

3. Интервалы знакопостоянства: Теперь рассмотрим знаки выражения на различных интервалах, разделенных точками $x=-2$, $x=4$, и $x=5$. Нужно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому $x\ne -2$ и $x\ne 5$.

   • Когда $x<-2$, $(x-4{)}^2>0\text{и}(x-5)(x+2)<0$ Значит, дробь положительна.

   • Когда $-2<x<4$, $(x-4{)}^2>0\text{и}(x-5)(x+2)>0$ Значит, дробь отрицательна.

   • Когда $4<x<5$, $(x-4{)}^2>0\text{и}(x-5)(x+2)>0$ Значит, дробь отрицательна.

   • Когда $x>5$, $(x-4{)}^2>0\text{и}(x-5)(x+2)<0$ Значит, дробь положительна.

4. Объединение результатов: Неравенство $\frac{x^2-8x+16}{x^2-3x-10}>0$ выполняется для интервалов $x\in (-\mathrm{\infty },-2$ \cup $5,\mathrm{\infty }$). Точки $x=-2$ и $x=5$ исключены, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Итак, ответ: $x\in (-\mathrm{\infty },-2$ \cup $5,\mathrm{\infty }$).

Для начала, необходимо найти корни уравнения в знаменателе неравенства, чтобы определить интервалы, где неравенство может изменять свой знак.

x^2 - 3x - 10 = 0 $x-5$$x+2$ = 0 x = 5 или x = -2

Таким образом, имеем три интервала: $-бесконечность,-2$, $-2,5$, $5,+бесконечность$.

Теперь анализируем знак функции $x^2-8x+16$ / $x^2-3x-10$:

1. Для x < -2: Подставляем x = -3 $любоечисломеньше-2$ в функцию: $-3$^2 - 8$-3$ + 16 / $-3$^2 - 3$-3$ - 10 = 25 / 19 > 0

2. Для -2 < x < 5: Подставляем x = 0 $любоечисломежду-2и5$ в функцию: 0^2 - 8$0$ + 16 / 0^2 - 3$0$ - 10 = 16 / -10 < 0

3. Для x > 5: Подставляем x = 6 $любоечислобольше5$ в функцию: 6^2 - 8$6$ + 16 / 6^2 - 3$6$ - 10 = 16 / 16 > 0

Таким образом, неравенство x^2 - 8x + 16 / x^2 - 3x - 10 > 0 выполняется для x < -2 и x > 5.