Решите неравенство x^2-8x+16/x^2-3x-10 > 0

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
математика алгебра неравенства решение неравенств упрощение выражений
0

Решите неравенство x^2-8x+16/x^2-3x-10 > 0

avatar
задан 11 месяцев назад

2 Ответа

0

Для решения данного неравенства x28x+16x23x10>0, начнем с определения корней числителя и знаменателя.

  1. Разложение числителя: Числитель x28x+16 можно представить как (x4^2), так как: x28x+16=(x4)2 Это выражение равно нулю при x=4.

  2. Разложение знаменателя: Знаменатель x23x10 можно разложить на множители: x23x10=(x5)(x+2) Знаменатель равен нулю при x=5 и x=2.

  3. Интервалы знакопостоянства: Теперь рассмотрим знаки выражения на различных интервалах, разделенных точками x=2, x=4, и x=5. Нужно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому x2 и x5.

    • Когда x<2, (x4)2>0и(x5)(x+2)<0 Значит, дробь положительна.

    • Когда 2<x<4, (x4)2>0и(x5)(x+2)>0 Значит, дробь отрицательна.

    • Когда 4<x<5, (x4)2>0и(x5)(x+2)>0 Значит, дробь отрицательна.

    • Когда x>5, (x4)2>0и(x5)(x+2)<0 Значит, дробь положительна.

  4. Объединение результатов: Неравенство x28x+16x23x10>0 выполняется для интервалов x(,2 \cup 5,). Точки x=2 и x=5 исключены, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Итак, ответ: x(,2 \cup 5,).

avatar
ответил 11 месяцев назад
0

Для начала, необходимо найти корни уравнения в знаменателе неравенства, чтобы определить интервалы, где неравенство может изменять свой знак.

x^2 - 3x - 10 = 0 x5x+2 = 0 x = 5 или x = -2

Таким образом, имеем три интервала: бесконечность,2, 2,5, 5,+бесконечность.

Теперь анализируем знак функции x28x+16 / x23x10:

  1. Для x < -2: Подставляем x = -3 любоечисломеньше2 в функцию: 3^2 - 83 + 16 / 3^2 - 33 - 10 = 25 / 19 > 0

  2. Для -2 < x < 5: Подставляем x = 0 любоечисломежду2и5 в функцию: 0^2 - 80 + 16 / 0^2 - 30 - 10 = 16 / -10 < 0

  3. Для x > 5: Подставляем x = 6 любоечислобольше5 в функцию: 6^2 - 86 + 16 / 6^2 - 36 - 10 = 16 / 16 > 0

Таким образом, неравенство x^2 - 8x + 16 / x^2 - 3x - 10 > 0 выполняется для x < -2 и x > 5.

avatar
ответил 11 месяцев назад

Ваш ответ