Решите неравенство x^2-8x+16/x^2-3x-10 > 0
Решите неравенство x^2-8x+16/x^2-3x-10 > 0
Для решения данного неравенства ( \frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 3x - 10} > 0 ), начнем с определения корней числителя и знаменателя.
Разложение числителя: Числитель (x^2 - 8x + 16) можно представить как ((x - 4)^2), так как: [ x^2 - 8x + 16 = (x - 4)^2 ] Это выражение равно нулю при (x = 4).
Разложение знаменателя: Знаменатель (x^2 - 3x - 10) можно разложить на множители: [ x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2) ] Знаменатель равен нулю при (x = 5) и (x = -2).
Интервалы знакопостоянства: Теперь рассмотрим знаки выражения на различных интервалах, разделенных точками (x = -2), (x = 4), и (x = 5). Нужно учесть, что знаменатель не должен быть равен нулю, поэтому (x \neq -2) и (x \neq 5).
Когда (x < -2), [ (x - 4)^2 > 0 \quad \text{и} \quad (x - 5)(x + 2) < 0 ] Значит, дробь положительна.
Когда (-2 < x < 4), [ (x - 4)^2 > 0 \quad \text{и} \quad (x - 5)(x + 2) > 0 ] Значит, дробь отрицательна.
Когда (4 < x < 5), [ (x - 4)^2 > 0 \quad \text{и} \quad (x - 5)(x + 2) > 0 ] Значит, дробь отрицательна.
Когда (x > 5), [ (x - 4)^2 > 0 \quad \text{и} \quad (x - 5)(x + 2) < 0 ] Значит, дробь положительна.
Объединение результатов: Неравенство ( \frac{x^2 - 8x + 16}{x^2 - 3x - 10} > 0 ) выполняется для интервалов (x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)). Точки (x = -2) и (x = 5) исключены, так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.
Итак, ответ: (x \in (-\infty, -2) \cup (5, \infty)).
Для начала, необходимо найти корни уравнения в знаменателе неравенства, чтобы определить интервалы, где неравенство может изменять свой знак.
x^2 - 3x - 10 = 0 (x - 5)(x + 2) = 0 x = 5 или x = -2
Таким образом, имеем три интервала: (-бесконечность, -2), (-2, 5), (5, +бесконечность).
Теперь анализируем знак функции (x^2 - 8x + 16) / (x^2 - 3x - 10):
Для x < -2: Подставляем x = -3 (любое число меньше -2) в функцию: (-3)^2 - 8(-3) + 16 / (-3)^2 - 3(-3) - 10 = 25 / 19 > 0
Для -2 < x < 5: Подставляем x = 0 (любое число между -2 и 5) в функцию: 0^2 - 8(0) + 16 / 0^2 - 3(0) - 10 = 16 / -10 < 0
Для x > 5: Подставляем x = 6 (любое число больше 5) в функцию: 6^2 - 8(6) + 16 / 6^2 - 3(6) - 10 = 16 / 16 > 0
Таким образом, неравенство x^2 - 8x + 16 / x^2 - 3x - 10 > 0 выполняется для x < -2 и x > 5.
