Решите неравенство (x-1)(x-3)>0

Чтобы решить неравенство ((x-1)(x-3) > 0), следует определить, на каких промежутках произведение ((x-1)) и ((x-3)) будет положительным. Это можно сделать, проведя анализ знаков произведения на различных промежутках числовой прямой.

1. Найдем нули каждого множителя:

   • (x - 1 = 0) дает (x = 1),
   • (x - 3 = 0) дает (x = 3).

   Эти значения делят числовую прямую на три промежутка: ((-\infty, 1)), ((1, 3)) и ((3, +\infty)).

2. Проанализируем знаки на каждом из промежутков:

   • На промежутке ((-\infty, 1)):
     Выберем тестовую точку, например (x = 0).
     ((x-1)(x-3) = (0-1)(0-3) = (-1)(-3) = 3 > 0).
     Значит, на этом промежутке ((x-1)(x-3) > 0).

   • На промежутке ((1, 3)):
     Выберем тестовую точку, например (x = 2).
     ((x-1)(x-3) = (2-1)(2-3) = (1)(-1) = -1 < 0).
     Значит, на этом промежутке ((x-1)(x-3) < 0).

   • На промежутке ((3, +\infty)):
     Выберем тестовую точку, например (x = 4).
     ((x-1)(x-3) = (4-1)(4-3) = (3)(1) = 3 > 0).
     Значит, на этом промежутке ((x-1)(x-3) > 0).

3. Запишем решение: Неравенство ((x-1)(x-3) > 0) выполняется на промежутках, где произведение положительно, то есть на ((-\infty, 1)) и ((3, +\infty)).

Таким образом, решение неравенства: [ x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) ]

Это означает, что (x) может принимать любые значения из этих промежутков, чтобы неравенство было верным.

x < 1 или x > 3

Для решения данного неравенства нужно найти интервалы, на которых выражение (x-1)(x-3) больше нуля.

1. Найдем корни уравнения (x-1)(x-3) = 0: x-1 = 0 => x = 1 x-3 = 0 => x = 3

2. Построим знаки выражения (x-1)(x-3) на числовой прямой, используя найденные корни: Знаки: - - + +

3. Теперь определим интервалы, на которых выражение (x-1)(x-3) больше нуля (положительно): 1) x < 1 => (-∞, 1) 2) 1 < x < 3 => (1, 3) 3) x > 3 => (3, +∞)

Итак, решением неравенства (x-1)(x-3) > 0 является объединение интервалов (-∞, 1) и (3, +∞), то есть x принадлежит множеству (-∞, 1)U(3, +∞).