Решите неравенство tg x больше или равно - корень из 3
Решите неравенство tg x больше или равно - корень из 3
Для решения неравенства ( \tan{x} \geq -\sqrt{3} ), сначала необходимо найти все значения ( x ), при которых ( \tan{x} = -\sqrt{3} ).
Значение ( \tan{x} = -\sqrt{3} ) соответствует углам, которые находятся во второй и четвертой четвертях тригонометрического круга. Известно, что ( \tan{\alpha} = \sqrt{3} ) для ( \alpha = \frac{\pi}{3} + k\pi ), где ( k ) — целое число. Следовательно, ( \tan{x} = -\sqrt{3} ) для ( x = \frac{2\pi}{3} + k\pi ) и ( x = \frac{5\pi}{3} + k\pi ).
Теперь рассмотрим, когда ( \tan{x} \geq -\sqrt{3} ). Тангенс функция является возрастающей на каждом интервале между его вертикальными асимптотами, которые возникают в точках ( x = \frac{\pi}{2} + k\pi ), где ( k ) — целое число. На интервалах ( \left(\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{3\pi}{2} + k\pi\right) ), тангенс принимает все значения от (-\infty) до (+\infty), проходя через значение (-\sqrt{3}).
Таким образом, ( \tan{x} \geq -\sqrt{3} ) в следующих интервалах:
Объединяя эти интервалы, получаем окончательный ответ:
[ x \in \bigcup_{k \in \mathbb{Z}} \left[ \frac{2\pi}{3} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3} + (2k+1)\pi, \frac{3\pi}{2} + (2k+1)\pi \right]. ]
Это множество описывает все ( x ), для которых ( \tan{x} \geq -\sqrt{3} ).
tg(x) ≥ -√3 x ∈ [-π/3 + πk, π/3 + πk], где k - целое число.
Для решения данного неравенства, необходимо рассмотреть область определения тангенса. Тангенс является функцией, которая определена для всех действительных чисел, кроме углов, кратных pi/2. Таким образом, область определения тангенса - (-pi/2, pi/2) ∪ (pi/2, 3pi/2) ∪ (5pi/2, ...).
Теперь найдем все значения угла x, для которых tg(x) >= -√3. Решим уравнение tg(x) = -√3. Известно, что tg(x) = sin(x)/cos(x) = -√3. Решив это уравнение, получаем sin(x) = -√3*cos(x).
Для углов в области определения тангенса, sin(x) < 0, а cos(x) > 0. Таким образом, sin(x) = -√3*cos(x) соответствует углу 5pi/3.
Итак, решением неравенства tg(x) >= -√3 является x принадлежит [5pi/3 + 2kpi, pi/2 + 2kpi), где k - целое число.
