Решите неравенство log2 (x-1) + log2 x< 1 помогите плиззз очень нужно

Конечно, давайте решим неравенство ( \log_2 (x - 1) + \log_2 x < 1 ).

1. Область определения: Поскольку логарифмы определены только для положительных чисел, необходимо, чтобы ( x - 1 > 0 ) и ( x > 0 ). Отсюда: [ x - 1 > 0 \implies x > 1 ] Таким образом, область определения ( x > 1 ).

2. Применение свойства логарифмов: Одним из свойств логарифмов является то, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: [ \log_2 (x - 1) + \log_2 x = \log_2 \left( (x - 1) \cdot x \right) ] Применяя это свойство, получаем: [ \log_2 \left( x(x - 1) \right) < 1 ]

3. Решение неравенства: Неравенство ( \log_2 \left( x(x - 1) \right) < 1 ) можно решить, используя определение логарифма. Если ( \log_2 A < 1 ), то ( A < 2^1 ), где ( A = x(x - 1) ). Таким образом: [ x(x - 1) < 2 ]

4. Решение квадратного неравенства: Решим квадратное неравенство ( x^2 - x - 2 < 0 ). Для этого найдем корни квадратного уравнения ( x^2 - x - 2 = 0 ) по формуле: [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ] где ( a = 1 ), ( b = -1 ), ( c = -2 ). Подставляя значения, получаем: [ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} ] Следовательно, корни уравнения: [ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2 ] [ x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]

   Квадратное неравенство ( x^2 - x - 2 < 0 ) решается методом интервалов. На числовой оси отметим точки ( x = 2 ) и ( x = -1 ). Неравенство будет выполнено на интервале между корнями, где парабола находится ниже оси ( x ): [ -1 < x < 2 ]

5. Учет области определения: Совместим интервал решения квадратного неравенства с областью определения ( x > 1 ): [ 1 < x < 2 ]

Таким образом, решение неравенства ( \log_2 (x - 1) + \log_2 x < 1 ) на множестве действительных чисел: [ 1 < x < 2 ]

Ответ: ( 1 < x < 2 ).

Для решения данного неравенства, мы можем воспользоваться свойствами логарифмов.

Сначала объединим логарифмы с помощью свойства логарифмов log(a) + log(b) = log(a*b):

log2 ((x-1)*x) < 1

Далее преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифма log(a^b) = b*log(a):

log2 (x^2 - x) < 1

Теперь преобразуем логарифм в экспоненциальную форму:

2^(log2 (x^2 - x)) < 2^1

x^2 - x < 2

Полученное квадратное неравенство можно решить путем переноса всех членов в одну сторону и нахождения корней уравнения x^2 - x - 2 = 0. После нахождения корней, необходимо проверить их на соответствие исходному неравенству.

Надеюсь, это поможет вам решить данное неравенство. Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!