Решите неравенство (х-1)²<√2(х-1)

Для решения неравенства ((x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1)) сначала обозначим (y = x - 1). Тогда неравенство можно переписать как:

[ y^2 < \sqrt{2}y. ]

Переносим все в одну сторону:

[ y^2 - \sqrt{2}y < 0. ]

Факторизуем:

[ y(y - \sqrt{2}) < 0. ]

Теперь определим, когда произведение меньше нуля. Корни уравнения (y(y - \sqrt{2}) = 0) — это (y = 0) и (y = \sqrt{2}).

Анализируем знаки на интервалах:

1. (y < 0) (например, (y = -1)): ( (-1)(-1 - \sqrt{2}) > 0 )
2. (0 < y < \sqrt{2}) (например, (y = 1)): ( (1)(1 - \sqrt{2}) < 0 )
3. (y > \sqrt{2}) (например, (y = 2)): ( (2)(2 - \sqrt{2}) > 0 )

Таким образом, неравенство выполняется на интервале:

[ 0 < y < \sqrt{2}. ]

Возвращаемся к переменной (x):

[ 0 < x - 1 < \sqrt{2}. ]

Это значит:

[ 1 < x < 1 + \sqrt{2}. ]

Итак, решение неравенства:

[ x \in (1, 1 + \sqrt{2}). ]

Для решения неравенства ((x - 1)^2 < \sqrt{2}(x - 1)) начнем с того, что сделаем замену переменной. Обозначим (y = x - 1). Тогда неравенство примет вид:

[ y^2 < \sqrt{2}y ]

Теперь мы можем перенести все в одну сторону неравенства:

[ y^2 - \sqrt{2}y < 0 ]

Это неравенство можно факторизовать. Сначала найдем корни соответствующего уравнения:

[ y^2 - \sqrt{2}y = 0 ]

Вынесем (y) за скобки:

[ y(y - \sqrt{2}) = 0 ]

Таким образом, корни уравнения: (y = 0) и (y = \sqrt{2}).

Теперь мы можем проанализировать знак выражения (y(y - \sqrt{2})) на интервалах, определяемых этими корнями: ((-∞, 0)), ((0, \sqrt{2})) и ((\sqrt{2}, +∞)).

1. Интервал ((-∞, 0)): выберем, например, (y = -1): [ (-1)(-1 - \sqrt{2}) > 0 ] Здесь выражение положительно.

2. Интервал ((0, \sqrt{2})): выберем, например, (y = 1): [ (1)(1 - \sqrt{2}) < 0 ] Здесь выражение отрицательно.

3. Интервал ((\sqrt{2}, +∞)): выберем, например, (y = 2): [ (2)(2 - \sqrt{2}) > 0 ] Здесь выражение положительно.

Теперь мы соберем результаты:

• На интервале ((-∞, 0)) выражение положительно.
• На интервале ((0, \sqrt{2})) выражение отрицательно.
• На интервале ((\sqrt{2}, +∞)) выражение положительно.

Неравенство (y(y - \sqrt{2}) < 0) выполняется на интервале ((0, \sqrt{2})).

Теперь вернемся к переменной (x): [ 0 < x - 1 < \sqrt{2} ]

Это можно записать как: [ 1 < x < 1 + \sqrt{2} ]

Таким образом, решение неравенства ((x - 1)^2 < \sqrt{2}(x - 1)) будет:

[ \boxed{(1, 1 + \sqrt{2})} ]

Рассмотрим неравенство ((x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1)). Это задача на решение нелинейного неравенства, и мы подробно разберем ее шаги.

Шаг 1. Анализ структуры неравенства

Перепишем неравенство:

[ (x-1)^2 < \sqrt{2}(x-1). ]

Заметим, что здесь выражение ((x-1)) повторяется в обеих частях. Чтобы упростить задачу, рассмотрим два случая: (x-1 > 0) и (x-1 \leq 0). Однако для начала перенесем все в одну часть неравенства:

[ (x-1)^2 - \sqrt{2}(x-1) < 0. ]

Шаг 2. Вынесение общего множителя

В правой части выделим общий множитель ((x-1)). Для этого упростим выражение:

[ (x-1)^2 - \sqrt{2}(x-1) = (x-1)((x-1) - \sqrt{2}). ]

Теперь наше неравенство принимает вид:

[ (x-1)((x-1) - \sqrt{2}) < 0. ]

Шаг 3. Найдем критические точки

Чтобы решить неравенство, определим точки, где выражение равно нулю. Это происходит, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1. (x-1 = 0 \implies x = 1),
2. ((x-1) - \sqrt{2} = 0 \implies x = 1 + \sqrt{2}).

Таким образом, критические точки: (x = 1) и (x = 1 + \sqrt{2}).

Шаг 4. Построение числовой оси

На числовой оси отметим точки (x = 1) и (x = 1 + \sqrt{2}). Эти точки делят ось на три интервала:

1. (x < 1),
2. (1 < x < 1 + \sqrt{2}),
3. (x > 1 + \sqrt{2}).

Шаг 5. Определим знак выражения на каждом интервале

Для удобства обозначим выражение как (f(x) = (x-1)((x-1) - \sqrt{2})). Исследуем знак (f(x)) на каждом из интервалов:

1. На интервале (x < 1):

   • Здесь (x-1 < 0) и ((x-1) - \sqrt{2} < 0) (так как (x-1 < 0) и меньше (-\sqrt{2})).
   • Произведение двух отрицательных чисел положительно: (f(x) > 0).

2. На интервале (1 < x < 1 + \sqrt{2}):

   • Здесь (x-1 > 0), но ((x-1) - \sqrt{2} < 0) (так как (x-1 < \sqrt{2})).
   • Произведение положительного и отрицательного числа отрицательно: (f(x) < 0).

3. На интервале (x > 1 + \sqrt{2}):

   • Здесь (x-1 > 0) и ((x-1) - \sqrt{2} > 0) (так как (x-1 > \sqrt{2})).
   • Произведение двух положительных чисел положительно: (f(x) > 0).

Шаг 6. Решение неравенства

Нам нужно найти, где (f(x) < 0). Это происходит на интервале, где произведение отрицательно. Из анализа видно, что:

[ f(x) < 0 \quad \text{на интервале } \quad 1 < x < 1 + \sqrt{2}. ]

Шаг 7. Учтем равенство

Так как в исходном неравенстве строгое (