Решите неравенство а)x^2-9больше 0 б)x^2-11x+30меньше или равно 0 в)-2x^2+5x-2меньше 0 найдите значения...

a) Решим неравенство x^2 - 9 > 0: (x+3)(x-3) > 0 x < -3 или x > 3

б) Решим неравенство x^2 - 11x + 30 ≤ 0: (x-5)(x-6) ≤ 0 5 ≤ x ≤ 6

в) Решим неравенство -2x^2 + 5x - 2 < 0: 2x^2 - 5x + 2 > 0 (2x - 1)(x - 2) > 0 1/2 < x < 2

Найдем значения x, при которых трехчлен 4x^2 - 4x + 1 принимает положительные значения: Для того чтобы 4x^2 - 4x + 1 был положительным, дискриминант должен быть отрицательным: D < 0 D = (-4)^2 - 441 = 16 - 16 = 0 Таким образом, уравнение 4x^2 - 4x + 1 принимает положительные значения для всех значений x.

Для решения неравенств и анализа знаков трехчленов, давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и найдем необходимые значения ( x ).

a) Решение неравенства ( x^2 - 9 > 0 )

Неравенство ( x^2 - 9 > 0 ) можно переписать как ( (x - 3)(x + 3) > 0 ).

Рассмотрим точки, в которых выражение равно нулю: ( x = 3 ) и ( x = -3 ). Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: ( (-\infty, -3) ), ( (-3, 3) ) и ( (3, \infty) ).

• На интервале ( (-\infty, -3) ) выберем точку ( x = -4 ). Подставим в неравенство: ( (-4 - 3)(-4 + 3) = (-7)(-1) > 0 ).
• На интервале ( (-3, 3) ) выберем точку ( x = 0 ). Подставим в неравенство: ( (0 - 3)(0 + 3) = (-3)(3) < 0 ).
• На интервале ( (3, \infty) ) выберем точку ( x = 4 ). Подставим в неравенство: ( (4 - 3)(4 + 3) = (1)(7) > 0 ).

Знак выражения ( (x - 3)(x + 3) ) положителен на интервалах ( (-\infty, -3) ) и ( (3, \infty) ).

Ответ: ( x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty) ).

b) Решение неравенства ( x^2 - 11x + 30 \leq 0 )

Рассмотрим квадратное уравнение ( x^2 - 11x + 30 = 0 ). Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \times 1 \times 30 = 121 - 120 = 1 ).

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 \pm 1}{2} ]

[ x_1 = \frac{12}{2} = 6, \quad x_2 = \frac{10}{2} = 5 ]

Таким образом, у нас есть корни ( x = 5 ) и ( x = 6 ).

Разбиваем числовую ось на интервалы: ( (-\infty, 5) ), ( [5, 6] ), ( (6, \infty) ).

• На интервале ( (-\infty, 5) ) выберем точку ( x = 0 ). Подставим в неравенство: ( 0^2 - 11 \times 0 + 30 = 30 > 0 ).
• На интервале ( [5, 6] ) значение трехчлена равно 0 в точках ( x = 5 ) и ( x = 6 ).
• На интервале ( (5, 6) ) выберем точку ( x = 5.5 ). Подставим в неравенство: ( (5.5)^2 - 11 \times 5.5 + 30 = 30.25 - 60.5 + 30 = -0.25 \leq 0 ).
• На интервале ( (6, \infty) ) выберем точку ( x = 7 ). Подставим в неравенство: ( 7^2 - 11 \times 7 + 30 = 49 - 77 + 30 = 2 > 0 ).

Знак выражения ( x^2 - 11x + 30 ) неположителен на интервале ( [5, 6] ).

Ответ: ( x \in [5, 6] ).

c) Решение неравенства (-2x^2 + 5x - 2 < 0)

Рассмотрим квадратное уравнение (-2x^2 + 5x - 2 = 0). Найдем его корни с помощью дискриминанта.

Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \times (-2) \times (-2) = 25 - 16 = 9 ).

Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 3}{-4} ]

[ x_1 = \frac{-2}{-4} = \frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{-8}{-4} = 2 ]

Таким образом, у нас есть корни ( x = \frac{1}{2} ) и ( x = 2 ).

Разбиваем числовую ось на интервалы: ( (-\infty, \frac{1}{2}) ), ( (\frac{1}{2}, 2) ), ( (2, \infty) ).

• На интервале ( (-\infty, \frac{1}{2}) ) выберем точку ( x = 0 ). Подставим в неравенство: (-2 \times 0^2 + 5 \times 0 - 2 = -2 < 0 ).
• На интервале ( (\frac{1}{2}, 2) ) выберем точку ( x = 1 ). Подставим в неравенство: (-2 \times 1^2 + 5 \times 1 - 2 = -2 + 5 - 2 = 1 > 0 ).
• На интервале ( (2, \infty) ) выберем точку ( x = 3 ). Подставим в неравенство: (-2 \times 3^2 + 5 \times 3 - 2 = -18 + 15 - 2 = -5 < 0 ).

Знак выражения (-2x^2 + 5x - 2) отрицателен на интервалах ( (-\infty, \frac{1}{2}) ) и ( (2, \infty) ).

Ответ: ( x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (2, \infty) ).

в) Значения ( x ), при которых трехчлен ( 4x^2 - 4x + 1 ) принимает положительные значения

Трехчлен ( 4x^2 - 4x + 1 ) является квадратным уравнением. Найдем его дискриминант для определения корней.

Дискриминант ( D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 4 \times 1 = 16 - 16 = 0 ).

Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет один корень, который также является вершиной параболы.

Корень уравнения: [ x = \frac{-b}{2a} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} ]

Так как дискриминант равен нулю, парабола касается оси ( x ) в точке ( x = \frac{1}{2} ) и не пересекает ее. Поскольку коэффициент ( a = 4 ) положителен, парабола направлена вверх и не принимает положительных значений.

Ответ: Для трехчлена ( 4x^2 - 4x + 1 ) нет значений ( x ), при которых он принимает положительные значения.