Решите неравенство: а)(х+1)(х-1)/х+4<0 б)х^2-6х+9/х^2-4х-5>=0 прошу помогите(((

Конечно, давайте решим оба неравенства последовательно.

а) (\frac{(x+1)(x-1)}{x+4} < 0)

1. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Нули числителя: (x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1) и (x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1)
   • Нули знаменателя: (x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4)

2. Разделим числовую прямую на интервалы этими значениями: (-\infty, -4, -1, 1, \infty).

3. Определим знаки выражения на этих интервалах, подставляя тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала ((-∞, -4)): Подставим (x = -5): [ \frac{(-5+1)(-5-1)}{-5+4} = \frac{(-4)(-6)}{-1} = \frac{24}{-1} = -24 < 0 ]

   • Для интервала ((-4, -1)): Подставим (x = -2): [ \frac{(-2+1)(-2-1)}{-2+4} = \frac{(-1)(-3)}{2} = \frac{3}{2} > 0 ]

   • Для интервала ((-1, 1)): Подставим (x = 0): [ \frac{(0+1)(0-1)}{0+4} = \frac{(1)(-1)}{4} = \frac{-1}{4} < 0 ]

   • Для интервала ((1, ∞)): Подставим (x = 2): [ \frac{(2+1)(2-1)}{2+4} = \frac{(3)(1)}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} > 0 ]

4. Учитывая, что выражение должно быть меньше нуля, мы выбираем интервалы, где оно отрицательно: [ (-∞, -4) \cup (-1, 1) ]

5. Проверим, включены ли точки (-4, -1, 1) в решение:

   • (x = -4): знаменатель становится нулем, поэтому точка исключена.
   • (x = -1): числитель становится нулем, но значение при этом равно нулю, а не меньше, поэтому точка исключена.
   • (x = 1): числитель становится нулем, и значение при этом равно нулю, а не меньше, поэтому точка исключена.

Итак, решение: [ x \in (-∞, -4) \cup (-1, 1) ]

б) (\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 4x - 5} \geq 0)

1. Разложим числитель и знаменатель на множители:

   • Числитель: (x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2)
   • Знаменатель: (x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1))

2. Найдем нули числителя и знаменателя:

   • Нули числителя: ((x - 3)^2 = 0 \Rightarrow x = 3)
   • Нули знаменателя: ((x - 5)(x + 1) = 0 \Rightarrow x = 5) и (x = -1)

3. Разделим числовую прямую на интервалы этими значениями: (-\infty, -1, 3, 5, \infty).

4. Определим знаки выражения на этих интервалах, подставляя тестовые точки из каждого интервала:

   • Для интервала ((-∞, -1)): Подставим (x = -2): [ \frac{(-2-3)^2}{(-2-5)(-2+1)} = \frac{25}{(7)(-1)} = -\frac{25}{7} < 0 ]

   • Для интервала ((-1, 3)): Подставим (x = 0): [ \frac{(0-3)^2}{(0-5)(0+1)} = \frac{9}{(-5)(1)} = -\frac{9}{5} < 0 ]

   • Для интервала ((3, 5)): Подставим (x = 4): [ \frac{(4-3)^2}{(4-5)(4+1)} = \frac{1}{(-1)(5)} = -\frac{1}{5} < 0 ]

   • Для интервала ((5, ∞)): Подставим (x = 6): [ \frac{(6-3)^2}{(6-5)(6+1)} = \frac{9}{(1)(7)} = \frac{9}{7} > 0 ]

5. Учитывая, что выражение должно быть больше или равно нуля, мы выбираем интервалы, где оно положительно или равно нулю: [ {3} \cup (5, \infty) ]

6. Проверим, включены ли точки (-1, 3, 5) в решение:

   • (x = -1): знаменатель становится нулем, поэтому точка исключена.
   • (x = 3): числитель становится нулем, значение равно нулю, и это удовлетворяет неравенству, поэтому точка включена.
   • (x = 5): знаменатель становится нулем, поэтому точка исключена.

Итак, решение: [ x \in {3} \cup (5, \infty) ]

Таким образом, решения для двух неравенств: а) (\frac{(x+1)(x-1)}{x+4} < 0) имеет решение (x \in (-∞, -4) \cup (-1, 1)).

б) (\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 4x - 5} \geq 0) имеет решение (x \in {3} \cup (5, ∞)).

а) Для решения неравенства (x+1)(x-1)/(x+4) x=-1 2) x-1=0 => x=1 3) x+4=0 => x=-4

Точки разрыва: x=-4, x=-1, x=1

Анализ знаков функции: 1) x

а) Решение неравенства (x+1)(x-1)/x+4 x=-4.

1. Строим промежутки на числовой оси: x1 => (2)(0)/1+4 = 0 -> x∈(1,∞).
2. Решение: x∈(-4,1).

б) Решение неравенства x^2-6x+9/x^2-4x-5>=0:

1. Факторизуем знаменатель и числитель: x^2-6x+9 = (x-3)^2, x^2-4x-5 = (x-5)(x+1).
2. Находим корни уравнения: x=3, x=-1, x=5.
3. Строим промежутки на числовой оси: x не определено.
4. Решение: x∈(3,5).