Решите неравенство: (9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3)>0

Для решения неравенства ((9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3)>0) необходимо сначала найти нули каждого из множителей, так как они делят числовую прямую на интервалы, в которых знак всего выражения может изменяться.

1. Найдем нули каждого множителя:

   • (9x^2 - 4 = 0)

     Решим уравнение: [ 9x^2 = 4 \ x^2 = \frac{4}{9} \ x = \pm \frac{2}{3} ]

   • (16 - x^2 = 0)

     Решим уравнение: [ x^2 = 16 \ x = \pm 4 ]

   • (2x^2 + 3 = 0)

     Решим уравнение: [ 2x^2 = -3 ] Так как квадрат не может быть отрицательным числом, действительных решений это уравнение не имеет.

2. Определим интервалы для анализа знака:

   Нули: (x = -4), (x = -\frac{2}{3}), (x = \frac{2}{3}), (x = 4).

   Разделим числовую прямую на интервалы: ((-∞, -4)), ((-4, -\frac{2}{3})), ((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})), ((\frac{2}{3}, 4)), ((4, ∞)).

3. Исследуем знак на каждом интервале:

   Выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим в выражение ((9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3)):

   • На интервале ((-∞, -4)), например (x = -5): [ (9(-5)^2-4)(16-(-5)^2)(2(-5)^2+3) = (225-4)(16-25)(50+3) = 221 \times (-9) \times 53 < 0 ]

   • На интервале ((-4, -\frac{2}{3})), например (x = -1): [ (9(-1)^2-4)(16-(-1)^2)(2(-1)^2+3) = (9-4)(16-1)(2+3) = 5 \times 15 \times 5 > 0 ]

   • На интервале ((- \frac{2}{3}, \frac{2}{3})), например (x = 0): [ (9(0)^2-4)(16-(0)^2)(2(0)^2+3) = (-4)(16)(3) < 0 ]

   • На интервале ((\frac{2}{3}, 4)), например (x = 1): [ (9(1)^2-4)(16-(1)^2)(2(1)^2+3) = (9-4)(16-1)(2+3) = 5 \times 15 \times 5 > 0 ]

   • На интервале ((4, ∞)), например (x = 5): [ (9(5)^2-4)(16-(5)^2)(2(5)^2+3) = (225-4)(16-25)(50+3) = 221 \times (-9) \times 53 < 0 ]

4. Записываем решение:

   Неравенство ((9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3)>0) выполняется на интервалах ((-4, -\frac{2}{3})) и ((\frac{2}{3}, 4)).

Таким образом, решение неравенства: [ x \in (-4, -\frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, 4) ]

Для решения данного неравенства сначала найдем все корни уравнения, соответствующего неравенству, то есть значения x, при которых выражение (9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3) равно нулю.

1. Решим уравнение (9x^2-4) = 0: 9x^2 - 4 = 0 9x^2 = 4 x^2 = 4/9 x = ±2/3

2. Решим уравнение (16-x^2) = 0: 16 - x^2 = 0 x^2 = 16 x = ±4

3. Решим уравнение (2x^2+3) = 0: 2x^2 + 3 = 0 2x^2 = -3 x^2 = -3/2 (решения в комплексной области)

Таким образом, корни уравнения (9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3) равны: x = -4, -2/3, 2/3, 4, ±i√(3/2).

Теперь построим таблицу знаков, разбивая область на интервалы, где выражение может принимать разные знаки:

1) x ∈ (-∞, -4): знак (+)(-)(+) = - 2) x ∈ (-4, -2/3): знак (-)(-)(+) = + 3) x ∈ (-2/3, 2/3): знак (-)(+)(+) = - 4) x ∈ (2/3, 4): знак (-)(+)(+) = - 5) x ∈ (4, +∞): знак (+)(+)(+) = +

Таким образом, решением неравенства (9x^2-4)(16-x^2)(2x^2+3) > 0 являются интервалы (-4, -2/3) и (2/3, 4).