Решите неравенство 2х^2-3x>0

Решим неравенство (2x^2 - 3x > 0).

1. Нахождение корней соответствующего уравнения: Сначала решим уравнение, связанное с неравенством: [ 2x^2 - 3x = 0 ] Вынесем (x) за скобки: [ x(2x - 3) = 0 ] Это уравнение имеет два корня: [ x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3}{2} ]

2. Определение знаков на промежутках: Корни (x = 0) и (x = \frac{3}{2}) делят числовую ось на три промежутка: (-\infty, 0), (0, \frac{3}{2}) и (\frac{3}{2}, +\infty).

3. Исследование знака выражения (2x^2 - 3x) на каждом из промежутков:

   • Для промежутка ((- \infty, 0)): Выберем тестовую точку, например, (x = -1): [ 2(-1)^2 - 3(-1) = 2 + 3 = 5 > 0 ] На этом промежутке выражение положительно.

   • Для промежутка ((0, \frac{3}{2})): Выберем тестовую точку, например, (x = 1): [ 2(1)^2 - 3(1) = 2 - 3 = -1 < 0 ] На этом промежутке выражение отрицательно.

   • Для промежутка ((\frac{3}{2}, +\infty)): Выберем тестовую точку, например, (x = 2): [ 2(2)^2 - 3(2) = 8 - 6 = 2 > 0 ] На этом промежутке выражение положительно.

4. Запись решения: Неравенство (2x^2 - 3x > 0) выполняется на промежутках ((- \infty, 0)) и ((\frac{3}{2}, +\infty)).

Таким образом, решением неравенства является объединение двух промежутков: [ x \in (-\infty, 0) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right) ]

Решение: 2x^2 - 3x > 0 Факторизуем: x(2x - 3) > 0 Найдем корни уравнения x(2x - 3) = 0: x = 0, x = 3/2 Проведем знаковый анализ: 1) x < 0: ++ > 0, неравенство не выполняется 2) 0 < x < 3/2: -+ > 0, неравенство выполняется 3) x > 3/2: -*- > 0, неравенство не выполняется Ответ: x принадлежит интервалу (0, 3/2)

Для того чтобы решить неравенство (2x^2 - 3x > 0), нужно найти корни квадратного уравнения (2x^2 - 3x = 0). Для этого сначала выведем общий множитель:

(x(2x - 3) = 0)

Отсюда получаем два решения:

(x = 0) и (2x - 3 = 0)

(x = 0) и (x = \frac{3}{2})

Теперь проведем анализ знаков интервалов на числовой прямой. Построим прямую и отметим на ней найденные точки:

(-\infty \quad \frac{3}{2} \quad 0 \quad +\infty)

Выберем тестовую точку в каждом из интервалов, например:

• Для интервала ((- \infty, \frac{3}{2})) возьмем точку (x = -1)
• Для интервала ((\frac{3}{2}, 0)) возьмем точку (x = 1)
• Для интервала ((0, +\infty)) возьмем точку (x = 1)

Подставим эти точки в исходное неравенство:

• Для (x = -1): (2(-1)^2 - 3*(-1) = 2 + 3 = 5 > 0)
• Для (x = 1): (2(1)^2 - 3*1 = 2 - 3 = -1 < 0)
• Для (x = 1): (2(1)^2 - 3*1 = 2 - 3 = -1 < 0)

Таким образом, неравенство (2x^2 - 3x > 0) выполняется для (x \in (-\infty, 0) \cup (\frac{3}{2}, +\infty)).