Решите неравенство 15\(4+х)(2-5х)<0

Для решения неравенства (15(4 + x)(2 - 5x) < 0) нужно выполнить несколько шагов.

1. Упростим неравенство: Учитывая, что (15) — положительное число, оно не влияет на знак неравенства, поэтому можем его исключить: [(4 + x)(2 - 5x) < 0]

2. Найдем нули функции: Найдем значения (x), при которых произведение равно нулю: [ 4 + x = 0 \Rightarrow x = -4 ] [ 2 - 5x = 0 \Rightarrow 5x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{5} ]

3. Определим интервалы: Разделим числовую ось на интервалы, используя найденные корни:

   • ((-\infty, -4))
   • ((-4, \frac{2}{5}))
   • ((\frac{2}{5}, \infty))

4. Исследуем знак на каждом интервале: Для этого выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в выражение ((4 + x)(2 - 5x)).

   • Для интервала ((-\infty, -4)): Выберем точку (x = -5): [ (4 + (-5))(2 - 5(-5)) = (-1)(2 + 25) = (-1)(27) = -27 \quad \Rightarrow \quad отрицательно ]

   • Для интервала ((-4, \frac{2}{5})): Выберем точку (x = 0): [ (4 + 0)(2 - 5(0)) = 4 \cdot 2 = 8 \quad \Rightarrow \quad положительно ]

   • Для интервала ((\frac{2}{5}, \infty)): Выберем точку (x = 1): [ (4 + 1)(2 - 5(1)) = 5(-3) = -15 \quad \Rightarrow \quad отрицательно ]

5. Запишем результат: Неравенство ( (4 + x)(2 - 5x) < 0 ) выполняется на тех интервалах, где выражение отрицательно. Согласно нашим вычислениям, это интервалы: [ (-\infty, -4) \cup \left( \frac{2}{5}, \infty \right) ]

Таким образом, решение неравенства (15(4 + x)(2 - 5x) < 0) будет: [ x \in (-\infty, -4) \cup \left( \frac{2}{5}, \infty \right) ]

Для решения данного неравенства необходимо использовать метод интервалов. Сначала найдем все точки, где выражение в скобках равно нулю:

4 + x = 0 x = -4

2 - 5x = 0 x = 2/5

Теперь разобьем числовую прямую на интервалы, используя найденные точки. Используя тестовую точку в каждом интервале, определим знак выражения в скобках:

1. x < -4, возьмем x = -5 15(4 + (-5))(2 - 5(-5)) = 15(-1)(27) = -405 Ответ: x < -4

2. -4 < x < 2/5, возьмем x = 0 15(4 + 0)(2 - 5(0)) = 15(4)(2) = 120 Ответ: -4 < x < 2/5

3. x > 2/5, возьмем x = 1 15(4 + 1)(2 - 5(1)) = 15(5)(-3) = -225 Ответ: x > 2/5

Таким образом, решением неравенства 15(4 + x)(2 - 5x) < 0 является x < -4 или -4 < x < 2/5.