Решите неравенства: 5х2+3х-8>0 (2х2-3х+1)(х-3)>=0 х2-2х-15>=0 2х+3/х+2<1 (5х+4)(3х-2)/х+3<=(3х-2)(х+2)/1-х

1) Начнем с первого неравенства: 5x^2 + 3x - 8 > 0. Для начала найдем корни уравнения 5x^2 + 3x - 8 = 0. Решив это уравнение, получим x1 = -2 и x2 = 8/5. Теперь построим знаки на числовой прямой и найдем интервалы, удовлетворяющие неравенству. Итак, решение: x ∈ (-∞, -2) ∪ (8/5, +∞).

2) Перейдем ко второму неравенству: (2x^2 - 3x + 1)(x - 3) >= 0. Сначала найдем корни уравнения 2x^2 - 3x + 1 = 0, которые равны x1 = 1 и x2 = 1/2. Затем строим знаки на числовой прямой и находим интервалы, удовлетворяющие неравенству. Решение: x ∈ (-∞, 1/2] ∪ [1, 3].

3) Теперь перейдем к третьему неравенству: x^2 - 2x - 15 >= 0. Найдем корни уравнения x^2 - 2x - 15 = 0, которые равны x1 = -3 и x2 = 5. Построим знаки на числовой прямой и найдем интервалы, удовлетворяющие неравенству. Решение: x ∈ (-∞, -3] ∪ [5, +∞).

4) Перейдем к четвертому неравенству: 2x + 3 / x + 2 < 1. Преобразуем неравенство, чтобы найти корни уравнения, которое будет равно нулю в знаменателе. Получим x = -2. Теперь строим знаки на числовой прямой и находим интервалы, удовлетворяющие неравенству. Решение: x ∈ (-∞, -2) ∪ (-2, +∞).

5) Наконец, рассмотрим пятое неравенство: (5x + 4)(3x - 2) / x + 3

Рассмотрим каждое неравенство по отдельности и решим их последовательно.

1. Неравенство: ( 5x^2 + 3x - 8 > 0 )

   Решим это неравенство методом интервалов.

   • Найдем корни квадратного уравнения ( 5x^2 + 3x - 8 = 0 ) с помощью дискриминанта ( D ): [ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-8) = 9 + 160 = 169 ] Корни уравнения: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{169}}{10} = \frac{-3 \pm 13}{10} ] [ x_1 = \frac{10}{10} = 1, \quad x_2 = \frac{-16}{10} = -1.6 ]

   • Расставим корни на числовой оси и определим знаки на промежутках: [ (-\infty, -1.6) \cup (1, +\infty) ] Знаки на промежутках можно определить, подставляя значения из каждого интервала в исходное неравенство или анализируя знаки коэффициентов.

   Следовательно, решение: [ x \in (-\infty, -1.6) \cup (1, +\infty) ]

2. Неравенство: ( (2x^2 - 3x + 1)(x - 3) \geq 0 )

   Найдем корни каждого множителя:

   • ( 2x^2 - 3x + 1 = 0 ): [ D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 ] Корни: [ x_{1,2} = \frac{3 \pm 1}{4}, \quad x_1 = 1, x_2 = \frac{1}{2} ]

   • ( x - 3 = 0 ): [ x = 3 ]

   Располагаем корни на числовой оси и определяем знаки на промежутках: [ x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (1, 3] ]

3. Неравенство: ( x^2 - 2x - 15 \geq 0 )

   Решим уравнение ( x^2 - 2x - 15 = 0 ): [ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 64 ] Корни: [ x_{1,2} = \frac{2 \pm 8}{2}, \quad x_1 = 5, x_2 = -3 ]

   Располагаем корни на числовой оси и определяем знаки на промежутках: [ x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) ]

4. Неравенство: ( \frac{2x + 3}{x + 2} < 1 )

   Приведем к общему знаменателю и упростим: [ \frac{2x + 3}{x + 2} - 1 < 0 \Rightarrow \frac{2x + 3 - (x + 2)}{x + 2} < 0 \Rightarrow \frac{x + 1}{x + 2} < 0 ]

   Найдем корни числителя и знаменателя:

   • ( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 )
   • ( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 )

   Располагаем корни на числовой оси и определяем знаки на промежутках: [ x \in (-2, -1) ]

5. Неравенство: ( \frac{(5x+4)(3x-2)}{x+3} \leq \frac{(3x-2)(x+2)}{1-x} )

   Переносим все в одну сторону и приводим к общему знаменателю: [ \frac{(5x+4)(3x-2)}{x+3} - \frac{(3x-2)(x+2)}{1-x} \leq 0 ] Приведем к общему знаменателю и упростим: [ \frac{(5x+4)(3x-2)(1-x) - (3x-2)(x+2)(x+3)}{(x+3)(1-x)} \leq 0 ] Заметим, что ( (3x-2) ) не равно нулю для значений ( x \neq \frac{2}{3} ).

   Решаем отдельно числитель: ( (5x+4)(1-x) - (x+2)(x+3) \leq 0 )

   Находим корни и решаем неравенство методом интервалов: [ x \in (-\infty, -3) \cup (-3, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, +\infty) ]

Проверив все промежутки, мы получаем:

1. ( x \in (-\infty, -1.6) \cup (1, +\infty) )
2. ( x \in (-\infty, \frac{1}{2}) \cup (1, 3] )
3. ( x \in (-\infty, -3] \cup [5, +\infty) )
4. ( x \in (-2, -1) )
5. ( x \in (-\infty, -3) \cup (-3, \frac{2}{3}) \cup (\frac{2}{3}, +\infty) )

Совокупность решений всех неравенств: пересечение всех решений.