Решить уравнение log2(x-2)+log2 x=3 ДАЮ 40 БАЛЛОВ

Конечно, давайте подробно разберем решение данного уравнения:

[ \log_2(x-2) + \log_2 x = 3 ]

1. Используем свойство логарифмов: Одним из свойств логарифмов является то, что сумма логарифмов равна логарифму произведения: [ \log_2(x-2) + \log_2 x = \log_2((x-2) \cdot x) ]

   Таким образом, уравнение переписывается в виде: [ \log_2((x-2) \cdot x) = 3 ]

2. Упрощаем выражение внутри логарифма: Внутри логарифма у нас произведение ((x-2) \cdot x): [ (x-2) \cdot x = x^2 - 2x ]

   Теперь уравнение имеет вид: [ \log_2(x^2 - 2x) = 3 ]

3. Рассмотрим определение логарифма: Логарифм по основанию 2 от числа (x^2 - 2x) равен 3, если (2^3 = x^2 - 2x): [ 2^3 = x^2 - 2x ]

   Из этого следует: [ 8 = x^2 - 2x ]

4. Решаем квадратное уравнение: Приведем уравнение к стандартному виду: [ x^2 - 2x - 8 = 0 ]

   Это квадратное уравнение можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения: [ ax^2 + bx + c = 0 ] [ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

   В нашем уравнении (a = 1), (b = -2), (c = -8): [ x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} ] [ x = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} ] [ x = \frac{2 \pm 6}{2} ]

   Это дает два возможных значения для (x): [ x = \frac{2 + 6}{2} = \frac{8}{2} = 4 ] [ x = \frac{2 - 6}{2} = \frac{-4}{2} = -2 ]

5. Проверка корней: Нам нужно убедиться, что оба корня удовлетворяют исходному уравнению. Однако логарифмы определены только для положительных значений аргументов, и аргументы логарифмов в исходном уравнении должны быть больше нуля: [ x > 0 ] [ x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 ]

   Следовательно, (x = -2) не подходит, так как он не удовлетворяет условию (x > 0). Остается только (x = 4).

6. Проверка правильности решения: Подставим (x = 4) в исходное уравнение: [ \log_2(4-2) + \log_2 4 = \log_2 2 + \log_2 4 ] [ \log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3 ]

   Все верно, решение удовлетворяет исходному уравнению.

Ответ: [ x = 4 ]

Для решения данного уравнения сначала объединим логарифмы с одинаковым основанием:

log2((x-2)*x) = 3

Теперь преобразуем уравнение, используя свойство логарифмов:

log2(x^2 - 2x) = 3

Преобразуем логарифм в экспоненциальную форму:

x^2 - 2x = 2^3

x^2 - 2x = 8

Приведем уравнение к квадратному виду:

x^2 - 2x - 8 = 0

Теперь найдем корни уравнения, используя квадратное уравнение:

D = (-2)^2 - 41(-8) = 4 + 32 = 36

x1,2 = (2 ± √36) / 2 = (2 ± 6) / 2

x1 = (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4

x2 = (2 - 6) / 2 = -4 / 2 = -2

Проверим оба корня подстановкой в исходное уравнение:

При x = 4: log2(4-2) + log2(4) = log2(2) + log2(4) = 1 + 2 = 3 (Верно)

При x = -2: логарифм не определен для отрицательных чисел, поэтому корень x = -2 не подходит.

Итак, решением уравнения log2(x-2) + log2(x) = 3 является x = 4.

log2(x-2)+log2 x=3 log2(x(x-2))=3 x(x-2)=2^3 x^2-2x=8 x^2-2x-8=0 (x-4)(x+2)=0 x=4 или x=-2

Ответ: x=4 или x=-2.