Решить уравнение 4^X-12*2^x+32=0

Для решения уравнения 4^x - 12*2^x + 32 = 0, начнем с замены переменной. Поскольку 4^x = (2^2)^x = (2^x)^2, введем новую переменную y = 2^x. Тогда уравнение примет вид:

y^2 - 12y + 32 = 0.

Теперь у нас квадратное уравнение относительно y. Решим его, используя формулу корней квадратного уравнения:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a,

где a = 1, b = -12, c = 32. Подставляем данные значения:

y = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4132)) / 2*1 = (12 ± √(144 - 128)) / 2 = (12 ± √16) / 2 = (12 ± 4) / 2.

Отсюда получаем два значения для y:

y1 = (12 + 4) / 2 = 16 / 2 = 8, y2 = (12 - 4) / 2 = 8 / 2 = 4.

Так как y = 2^x, то

2^x = 8 и 2^x = 4.

Решаем эти уравнения относительно x:

2^x = 8 → x = log2(8) → x = 3, 2^x = 4 → x = log2(4) → x = 2.

Итак, у уравнения 4^x - 12*2^x + 32 = 0 два решения: x = 3 и x = 2.

1. Представить уравнение в виде квадратного уравнения относительно 2^x.
2. Решить полученное квадратное уравнение.
3. Найти значение x, подставив найденные корни в уравнение 2^x.

Для решения данного уравнения сначала заменим (2^x = t). Тогда уравнение примет вид:

(4^x - 12t + 32 = 0)

Заметим, что (4^x = (2^x)^2 = t^2). Подставим это в уравнение:

(t^2 - 12t + 32 = 0)

Далее решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

(D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 32 = 144 - 128 = 16)

Так как дискриминант положителен, у уравнения есть два действительных корня. Найдем их:

(t_{1,2} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm 4}{2} = \frac{16}{2} = 8) или (4)

Теперь найдем значения x, зная что (2^x = t):

1) (2^x = 8)

(x = \log_2{8} = 3)

2) (2^x = 4)

(x = \log_2{4} = 2)

Итак, у уравнения (4^x - 12 \cdot 2^x + 32 = 0) имеется два корня: (x = 3) и (x = 2).