Решить уравнение 4sin*2x-12sinx+5=0,в ответе укажите корни,принадлежащие отрезку [-п;2п].

Для решения уравнения 4sin^2x - 12sinx + 5 = 0 мы можем воспользоваться методом замены переменной. Пусть t = sinx, тогда уравнение примет вид 4t^2 - 12t + 5 = 0.

Далее найдем корни квадратного уравнения 4t^2 - 12t + 5 = 0 с помощью дискриминанта: D = (-12)^2 - 445 = 144 - 80 = 64.

Таким образом, t1,2 = (12 ± √64) / 8 = (12 ± 8) / 8 = 5/2, 1/2.

Теперь вернемся к переменной x. Так как sinx = t, то sinx = 5/2 или 1/2. Однако sinx не может быть больше 1, поэтому уравнение sinx = 5/2 не имеет решения.

Теперь найдем аргументы sinx = 1/2 на отрезке [-π; 2π]. Корни уравнения sinx = 1/2 на данном отрезке: x1 = π/6, x2 = 5π/6, x3 = 13π/6, x4 = 17π/6.

Таким образом, корни уравнения 4sin^2x - 12sinx + 5 = 0, принадлежащие отрезку [-π; 2π], равны x1 = π/6, x2 = 5π/6, x3 = 13π/6, x4 = 17π/6.

Для решения уравнения ( 4\sin^2 x - 12\sin x + 5 = 0 ), введем замену: ( t = \sin x ). Тогда уравнение принимает вид:

[ 4t^2 - 12t + 5 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно ( t ). Решим его с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 5 = 144 - 80 = 64. ]

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных корня:

[ t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 \pm 8}{8}. ]

Вычислим эти корни:

[ t_1 = \frac{12 + 8}{8} = \frac{20}{8} = \frac{5}{2}, ] [ t_2 = \frac{12 - 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}. ]

Так как ( \sin x ) принимает значения только в диапазоне ([-1, 1]), корень ( t_1 = \frac{5}{2} ) не удовлетворяет этому условию и мы его отбрасываем. Остается только ( t_2 = \frac{1}{2} ).

Теперь решаем уравнение ( \sin x = \frac{1}{2} ).

Значение ( \sin x = \frac{1}{2} ) достигается при:

[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, ]

где ( k ) — целое число.

Найдем такие ( x ), которые входят в отрезок ([- \pi, 2\pi]).

1. ( x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi ):

   • Для ( k = -1 ), ( x = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{11\pi}{6} ).
   • Для ( k = 0 ), ( x = \frac{\pi}{6} ).
   • Для ( k = 1 ), ( x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} ).

2. ( x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi ):

   • Для ( k = -1 ), ( x = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi}{6} - \frac{12\pi}{6} = -\frac{7\pi}{6} ).
   • Для ( k = 0 ), ( x = \frac{5\pi}{6} ).
   • Для ( k = 1 ), ( x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{5\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{17\pi}{6} ).

Теперь отберем значения, которые принадлежат отрезку ([- \pi, 2\pi]):

• (-\frac{11\pi}{6}) попадает в ([- \pi, 2\pi]),
• (-\frac{7\pi}{6}) попадает в ([- \pi, 2\pi]),
• (\frac{\pi}{6}) попадает в ([- \pi, 2\pi]),
• (\frac{5\pi}{6}) попадает в ([- \pi, 2\pi]).

Таким образом, корни уравнения, принадлежащие отрезку ([- \pi, 2\pi]), это:

[ x = -\frac{11\pi}{6}, -\frac{7\pi}{6}, \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}. ]