Решить уравнение: (1-2cosx)(2+3cosx)=0

Чтобы решить уравнение ((1 - 2\cos x)(2 + 3\cos x) = 0), нужно рассмотреть два случая:

1. (1 - 2\cos x = 0) [ 2\cos x = 1 \implies \cos x = \frac{1}{2} ] Это дает решения: (x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi) и (x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi) для (k \in \mathbb{Z}).

2. (2 + 3\cos x = 0) [ 3\cos x = -2 \implies \cos x = -\frac{2}{3} ] Это дает решения: (x = \pm \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi) для (k \in \mathbb{Z}).

Таким образом, общее решение уравнения: [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad x = \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad x = -\arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. ]

Чтобы решить уравнение ((1 - 2\cos x)(2 + 3\cos x) = 0), необходимо использовать свойство произведения: если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей должен быть равен нулю. Это означает, что мы можем рассмотреть два отдельных уравнения:

1. (1 - 2\cos x = 0)
2. (2 + 3\cos x = 0)

Решение первого уравнения

Решим первое уравнение:

[ 1 - 2\cos x = 0 ]

Переносим (2\cos x) на правую сторону:

[ 2\cos x = 1 ]

Делим обе стороны на 2:

[ \cos x = \frac{1}{2} ]

Теперь найдем значения (x), для которых (\cos x = \frac{1}{2}). Это происходит в следующих точках на интервале (0) до (2\pi):

[ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Решение второго уравнения

Теперь решим второе уравнение:

[ 2 + 3\cos x = 0 ]

Переносим (3\cos x) на левую сторону:

[ 3\cos x = -2 ]

Делим обе стороны на 3:

[ \cos x = -\frac{2}{3} ]

Теперь находим значения (x), для которых (\cos x = -\frac{2}{3}). Это значение не является стандартным, поэтому мы будем использовать арккосинус для нахождения углов.

[ x = \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = -\arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Поскольку (\arccos) возвращает значения только в диапазоне ([0, \pi]), второе решение можно записать как:

[ x = 2\pi - \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi ]

Объединение решений

Таким образом, мы имеем два множества решений:

1. Для первого уравнения: [ x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

2. Для второго уравнения: [ x = \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = 2\pi - \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения ((1 - 2\cos x)(2 + 3\cos x) = 0) будет состоять из всех указанных выше значений (x).

Рассмотрим уравнение:
[ (1 - 2\cos x)(2 + 3\cos x) = 0. ]

Это уравнение является произведением двух множителей, которое равно нулю. Такое уравнение имеет смысл решать, если хотя бы один из множителей равен нулю. То есть, нам нужно решить два отдельных уравнения:

1. ( 1 - 2\cos x = 0 ),
2. ( 2 + 3\cos x = 0 ).

Рассмотрим их по отдельности.

Решение первого уравнения:

[ 1 - 2\cos x = 0. ] Переносим ( -2\cos x ) в правую часть: [ 1 = 2\cos x. ] Делим обе части на 2: [ \cos x = \frac{1}{2}. ]

Теперь вспомним, что (\cos x = \frac{1}{2}) при следующих значениях (x) (в радианах): [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, ] где (n) — целое число, соответствующее периодичности функции косинуса ((2\pi)).

Итак, решения первого уравнения: [ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. ]

Решение второго уравнения:

[ 2 + 3\cos x = 0. ] Переносим (2) в правую часть: [ 3\cos x = -2. ] Делим обе части на 3: [ \cos x = -\frac{2}{3}. ]

Значение (\cos x = -\frac{2}{3}) также допустимо, так как (-1 \leq \cos x \leq 1). Теперь найдём общие решения. Косинус отрицателен во II и III четвертях. Общая формула для решения уравнения (\cos x = a) имеет вид: [ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}, ] где (\arccos(a)) — арккосинус числа (a). Для (\cos x = -\frac{2}{3}) это будет: [ x = \pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{(во II четверти)}, ] [ x = \pi + \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n \quad \text{(в III четверти)}, ] где (n \in \mathbb{Z}).

Общий ответ:

Объединяя решения обоих уравнений, получаем:

1. (x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n), (x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n), (n \in \mathbb{Z}) (решения первого уравнения).
2. (x = \pi - \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n), (x = \pi + \arccos\left(\frac{2}{3}\right) + 2\pi n), (n \in \mathbb{Z}) (решения второго уравнения).