Решить тригонометрическое уравнение: 6sin^2x - cos x -4 = 0

Для решения данного тригонометрического уравнения необходимо преобразовать его до более простого вида, используя тригонометрические тождества.

Данное уравнение выглядит следующим образом: 6sin^2x - cos x - 4 = 0.

Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества: 6(1 - cos^2x) - cos x - 4 = 0, 6 - 6cos^2x - cos x - 4 = 0, -6cos^2x - cos x + 2 = 0.

Теперь полученное уравнение можно решить, рассматривая его как квадратное уравнение относительно cos x. Для этого можно использовать обычные методы решения квадратных уравнений, например, дискриминант или метод завершения квадрата.

После нахождения корней уравнения cos x, можно найти соответствующие значения x, используя обратные тригонометрические функции.

Таким образом, решив это тригонометрическое уравнение, можно найти значения x, удовлетворяющие условиям задачи.

Для решения тригонометрического уравнения (6\sin^2x - \cos x - 4 = 0) начнем с преобразования уравнения, используя основное тригонометрическое тождество (\sin^2x = 1 - \cos^2x).

1. Подставим (\sin^2x = 1 - \cos^2x) в уравнение:

   [ 6(1 - \cos^2x) - \cos x - 4 = 0 ]

2. Раскроем скобки:

   [ 6 - 6\cos^2x - \cos x - 4 = 0 ]

3. Упростим выражение:

   [ -6\cos^2x - \cos x + 2 = 0 ]

4. Умножим уравнение на (-1) для удобства:

   [ 6\cos^2x + \cos x - 2 = 0 ]

5. Это квадратное уравнение относительно (\cos x). Обозначим (y = \cos x). Тогда уравнение примет вид:

   [ 6y^2 + y - 2 = 0 ]

6. Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант (D) равен:

   [ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2) = 1 + 48 = 49 ]

7. Корни уравнения найдём по формуле:

   [ y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{12} ]

   [ y_1 = \frac{-1 + 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} ]

   [ y_2 = \frac{-1 - 7}{12} = \frac{-8}{12} = -\frac{2}{3} ]

8. Теперь решим два уравнения (\cos x = \frac{1}{2}) и (\cos x = -\frac{2}{3}):

   • Для (\cos x = \frac{1}{2}), решения: [ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

   • Для (\cos x = -\frac{2}{3}), используем основное свойство косинуса. Решение можно выразить как: [ x = \pm \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Таким образом, общее решение уравнения (6\sin^2x - \cos x - 4 = 0) состоит из следующих серий:

[ x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

и

[ x = \pm \arccos\left(-\frac{2}{3}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} ]

Для решения данного тригонометрического уравнения можно воспользоваться формулами тригонометрии и методами решения квадратных уравнений.