Решить систему уравнений | х+2у=1 | х^2-ху-2у^2=1

Решим систему уравнений, состоящую из двух уравнений:

1. ( x + 2y = 1 )
2. ( x^2 - xy - 2y^2 = 1 )

Начнем с первого уравнения:

[ x + 2y = 1 ]

Выразим ( x ) через ( y ):

[ x = 1 - 2y ]

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

[ (1 - 2y)^2 - (1 - 2y)y - 2y^2 = 1 ]

Раскроем скобки и упростим:

[ (1 - 2y)^2 = 1 - 4y + 4y^2 ] [ (1 - 2y)y = y - 2y^2 ]

Теперь подставим всё во второе уравнение:

[ 1 - 4y + 4y^2 - (y - 2y^2) - 2y^2 = 1 ]

Упрощаем:

[ 1 - 4y + 4y^2 - y + 2y^2 - 2y^2 = 1 ]

Соберем все подобные члены:

[ 1 - 5y + 4y^2 = 1 ]

Вычтем 1 из обеих частей уравнения:

[ -5y + 4y^2 = 0 ]

Разделим уравнение на ( y ) (если ( y \neq 0 )) и вынесем ( y ) за скобки:

[ y(-5 + 4y) = 0 ]

Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1. ( y = 0 )
2. ( -5 + 4y = 0 )

Рассмотрим первый случай:

1. Если ( y = 0 ): [ x + 2(0) = 1 ] [ x = 1 ]

Таким образом, одна пара решений: ( (x, y) = (1, 0) ).

Рассмотрим второй случай:

1. Если ( -5 + 4y = 0 ): [ 4y = 5 ] [ y = \frac{5}{4} ]

Теперь подставим это значение ( y ) в первое уравнение:

[ x + 2\left(\frac{5}{4}\right) = 1 ] [ x + \frac{5}{2} = 1 ] [ x = 1 - \frac{5}{2} ] [ x = \frac{2}{2} - \frac{5}{2} ] [ x = -\frac{3}{2} ]

Таким образом, вторая пара решений: ( (x, y) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\right) ).

Итак, система уравнений имеет два решения:

1. ( (x, y) = (1, 0) )
2. ( (x, y) = \left(-\frac{3}{2}, \frac{5}{4}\right) )

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом подстановки.

1. Решаем первое уравнение относительно х: х = 1 - 2у

2. Подставляем найденное значение х во второе уравнение и решаем его: (1 - 2у)^2 - (1 - 2у)у - 2у^2 = 1 1 - 4у + 4у^2 - у + 2у^2 - 2у^2 = 1 4у^2 - 3у = 0 y(4y - 3) = 0 y = 0 или y = 3/4

3. Находим соответствующие значения х:

   • При y = 0: x = 1 - 2*0 = 1
   • При y = 3/4: x = 1 - 2*(3/4) = 1/2

Таким образом, решением системы уравнений будет две пары значений (1, 0) и (1/2, 3/4).

x = -1, y = 1