Решить неравество (x-6)(x-8)деленное 2x-7 меньше нуля

Чтобы решить неравенство (\frac{(x-6)(x-8)}{2x-7} < 0), следует выполнить несколько шагов. Проанализируем его пошагово:

1. Нахождение критических точек: Критические точки возникают там, где числитель или знаменатель выражения равен нулю:

   • Числитель ((x-6)(x-8) = 0) дает две критические точки: (x = 6) и (x = 8).

   • Знаменатель (2x - 7 = 0) дает еще одну критическую точку: (2x = 7 \Rightarrow x = \frac{7}{2}).

2. Разбивка числовой оси на интервалы: Мы используем найденные критические точки для разбивки числовой оси на интервалы: [ (-\infty, \frac{7}{2}), \left(\frac{7}{2}, 6\right), (6, 8), (8, \infty). ]

3. Определение знаков на каждом интервале: Проверим знак выражения (\frac{(x-6)(x-8)}{2x-7}) на каждом из интервалов. Для этого выберем тестовую точку внутри каждого интервала и подставим ее в выражение:

   • На интервале ((- \infty, \frac{7}{2})): Выберем (x = 0): [ \frac{(0-6)(0-8)}{2 \cdot 0 - 7} = \frac{48}{-7} > 0 ]

   • На интервале (\left( \frac{7}{2}, 6 \right)): Выберем (x = 4): [ \frac{(4-6)(4-8)}{2 \cdot 4 - 7} = \frac{(-2)(-4)}{1} = 8 > 0 ]

   • На интервале ((6, 8)): Выберем (x = 7): [ \frac{(7-6)(7-8)}{2 \cdot 7 - 7} = \frac{(1)(-1)}{7} = -\frac{1}{7} < 0 ]

   • На интервале ((8, \infty)): Выберем (x = 9): [ \frac{(9-6)(9-8)}{2 \cdot 9 - 7} = \frac{(3)(1)}{11} > 0 ]

4. Учет критических точек:

   • В точке (x = \frac{7}{2}) знаменатель равен нулю, поэтому выражение не определено.
   • В точке (x = 6): [ \frac{(6-6)(6-8)}{2 \cdot 6 - 7} = \frac{0}{5} = 0 ] Но нас интересует, когда выражение строго меньше нуля.
   • В точке (x = 8): [ \frac{(8-6)(8-8)}{2 \cdot 8 - 7} = \frac{0}{9} = 0 ] Аналогично, нас интересует строгое неравенство.

5. Ответ: Неравенство (\frac{(x-6)(x-8)}{2x-7} < 0) выполняется на интервале ((6, 8)).

Таким образом, решение неравенства: [ x \in (6, 8). ]

Для решения неравенства ((x-6)(x-8) / (2x-7) < 0), необходимо найти корни уравнения числителя и знаменателя, а затем определить интервалы, на которых неравенство выполняется.

1. Найдем корни уравнения числителя: ((x-6)(x-8) = 0) (x^2 - 14x + 48 = 0) (x_1 = 6) и (x_2 = 8)

2. Найдем корень уравнения знаменателя: (2x - 7 = 0) (x = 7/2)

3. Построим числовую прямую с найденными корнями: (6, 7/2, 8).

4. Разобьем числовую прямую на интервалы, образованные корнями уравнений: ((-\infty, 6), (6, 7/2), (7/2, 8), (8, +\infty)).

5. Подставим значения из каждого интервала в исходное неравенство и определим знак неравенства на каждом интервале.

6. Получим, что неравенство ((x-6)(x-8) / (2x-7) < 0) выполняется на интервалах ((6, 7/2)) и ((8, +\infty)).

Таким образом, решением неравенства будет интервал ((6, 7/2) \cup (8, +\infty)).