Решить логарифмическое неравенство: Log2 x+log2 (x-1)=<1

Для решения логарифмического неравенства (\log_2 x + \log_2 (x-1) \leq 1), начнем с упрощения левой части выражения, используя свойства логарифмов.

Шаг 1: Применение свойств логарифмов

Свойство логарифмов гласит, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

[ \log_2 x + \log_2 (x-1) = \log_2 (x(x-1)) ]

Таким образом, неравенство переписывается в следующем виде:

[ \log_2 (x(x-1)) \leq 1 ]

Шаг 2: Устранение логарифма

Неравенство (\log_2 (x(x-1)) \leq 1) эквивалентно неравенству:

[ x(x-1) \leq 2^1 ]

Поскольку (2^1 = 2), то получаем:

[ x(x-1) \leq 2 ]

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Решим квадратное неравенство:

[ x^2 - x \leq 2 ]

Переносим все члены в одну сторону:

[ x^2 - x - 2 \leq 0 ]

Решим квадратное уравнение (x^2 - x - 2 = 0) для нахождения корней:

Дискриминант:

[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

Корни уравнения:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Получаем корни:

[ x_1 = \frac{1 + 3}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{1 - 3}{2} = -1 ]

Шаг 4: Интервалы и проверка

Разложим квадратичное выражение на множители:

[ (x - 2)(x + 1) \leq 0 ]

Определим знаки на интервалах, используя метод интервалов:

1. (x < -1): оба множителя отрицательные, произведение положительное.
2. (-1 < x < 2): множители разных знаков, произведение отрицательное.
3. (x > 2): оба множителя положительные, произведение положительное.

Таким образом, неравенство выполняется на интервале (-1 < x \leq 2).

Шаг 5: Учет области определения

Учитывая, что логарифмы определены только для положительных значений аргументов, (x > 0) и (x - 1 > 0), то областью определения является (x > 1).

Пересечение интервалов (-1 < x \leq 2) и (x > 1) дает окончательный ответ:

[ 1 < x \leq 2 ]

Таким образом, решение неравенства: (x \in (1, 2]).

Для решения данного логарифмического неравенства, сначала объединим логарифмы в один, используя свойство логарифмов: log_a x + log_a y = log_a (x * y).

Итак, у нас есть: log2 (x * (x-1)) = 1

Теперь преобразуем логарифм в экспоненциальную форму: x * (x-1) = 2^1

Раскроем скобки: x^2 - x = 2

Приведем уравнение к квадратному виду: x^2 - x - 2 = 0

Теперь решим квадратное уравнение: x = (1 ± √(1 + 8)) / 2

x = (1 ± 3) / 2

x1 = 2, x2 = -1

Ответ: x1 = 2 (подходит для исходного неравенства), x2 = -1 (не подходит, так как логарифм аргумента должен быть больше нуля).

x ∈ (1; 2)