Решение уравнения, пожалуйста: Корень2cos(2x+p/4)+1=0

Для решения уравнения корень(2cos(2x + π/4)) + 1 = 0 сначала выразим cos(2x + π/4) из под корня:

2cos(2x + π/4) = -1 cos(2x + π/4) = -1/2

Теперь найдем все значения угла (2x + π/4), для которых косинус равен -1/2. Обычно это углы 2π/3 и 4π/3.

2x + π/4 = 2π/3 + 2kπ, где k - целое число 2x + π/4 = 4π/3 + 2kπ

Теперь решим уравнения относительно x:

2x = 2π/3 - π/4 + 2kπ 2x = 4π/3 - π/4 + 2kπ

x = (2π/3 - π/4 + 2kπ)/2 x = (4π/3 - π/4 + 2kπ)/2

Обратите внимание, что решение уравнения может содержать бесконечное количество корней из-за периодичности тригонометрических функций.

Уравнение решается следующим образом: cos(2x+p/4) = -1/2 2x+p/4 = pi/3 + 2pin или 2x+p/4 = 5pi/3 + 2pin где n - целое число Отсюда x = (pi/3 - p/4)/2 или x = (5pi/3 - p/4)/2

Для решения данного уравнения (\sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0), мы начнем с изоляции косинуса. Выполним следующие шаги:

1. Переносим 1 в правую часть уравнения: [ \sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -1 ]

2. Делим обе части уравнения на (\sqrt{2}): [ \cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}} ]

3. Заметим, что (-\frac{1}{\sqrt{2}}) можно упростить до (-\frac{\sqrt{2}}{2}). Мы знаем, что косинус принимает значение (-\frac{\sqrt{2}}{2}) в следующих точках: [ \cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ] [ \cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2} ]

4. Таким образом, у нас есть два основных решения для аргумента косинуса: [ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi ] где (k) — целое число, представляющее периодичность функции косинуса.

5. Решим каждое из этих уравнений по отдельности:

   Для первого уравнения: [ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2k\pi ] [ 2x = \frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi ] [ 2x = \frac{2\pi}{4} + 2k\pi ] [ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi ] [ x = \frac{\pi}{4} + k\pi ]

   Для второго уравнения: [ 2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi ] [ 2x = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} + 2k\pi ] [ 2x = \frac{4\pi}{4} + 2k\pi ] [ 2x = \pi + 2k\pi ] [ x = \frac{\pi}{2} + k\pi ]

6. Итак, общее решение уравнения: [ x = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + k\pi ] где (k) — любое целое число. Это отражает периодичность тригонометрических функций.

Таким образом, решения уравнения (\sqrt{2}\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 0) представлены двумя семействами решений, которые соответствуют периодическим значениям косинуса.