Разложите на множители выражение
(a+2b)(a-b)^2+(a+b)^3-2a^3
Разложите на множители выражение
(a+2b)(a-b)^2+(a+b)^3-2a^3
Для начала раскроем скобки в данном выражении:
(a+2b)(a-b)^2 = (a+2b)(a^2 - 2ab + b^2) = a(a^2 - 2ab + b^2) + 2b(a^2 - 2ab + b^2) = a^3 - 2a^2b + ab^2 + 2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 = a^3 - 3ab^2 + 2b^3.
(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2 = (a+b)(a^2 + 2ab + b^2) = a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Итак, у нас есть:
(a+2b)(a-b)^2 = a^3 - 3ab^2 + 2b^3, (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3.
Теперь выразим данное выражение через полученные результаты:
(a+2b)(a-b)^2 + (a+b)^3 - 2a^3 = (a^3 - 3ab^2 + 2b^3) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 2a^3 = a^3 - 3ab^2 + 2b^3 + a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 2a^3 = 2a^3 + 3a^2b + 2b^3 + b^3 - 2a^3 = 3a^2b + 3b^3.
Итак, данное выражение равно 3a^2b + 3b^3.
Чтобы разложить данное выражение на множители, начнем с раскрытия скобок и упрощения каждого слагаемого:
Дано выражение:
[ (a+2b)(a-b)^2 + (a+b)^3 - 2a^3 ]
((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2),
поэтому
[ (a+2b)(a-b)^2 = (a+2b)(a^2 - 2ab + b^2) ]
Теперь раскроем скобки:
[ = a(a^2 - 2ab + b^2) + 2b(a^2 - 2ab + b^2) ]
[ = a^3 - 2a^2b + ab^2 + 2ba^2 - 4ab^2 + 2b^3 ]
[ = a^3 - 2a^2b + 2a^2b + ab^2 - 4ab^2 + 2b^3 ]
[ = a^3 + ab^2 - 4ab^2 + 2b^3 ]
[ = a^3 - 3ab^2 + 2b^3 ]
[ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ]
Теперь соберем все вместе:
[ (a+2b)(a-b)^2 + (a+b)^3 - 2a^3 = (a^3 - 3ab^2 + 2b^3) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 2a^3 ]
Объединим однотипные члены:
[ = a^3 - 3ab^2 + 2b^3 + a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 2a^3 ]
[ = (a^3 + a^3 - 2a^3) + 3a^2b + (-3ab^2 + 3ab^2) + (2b^3 + b^3) ]
[ = 0 + 3a^2b + 0 + 3b^3 ]
[ = 3a^2b + 3b^3 ]
Вынесем общий множитель (3b):
[ = 3b(a^2 + b^2) ]
Таким образом, выражение разложено на множители:
[ 3b(a^2 + b^2) ]
(a+2b)(a-b)^2+(a+b)^3-2a^3 = (a+2b)(a^2 - 2ab + b^2) + (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) - 2a^3 = a^3 - 2a^2b + ab^2 + 2a^2b - 4ab^2 + 2b^3 + a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 - 2a^3 = a^3 + b^3
