Разложите на множители: а) 25-y^2; б) a^2-6ab+9b^2

Давайте разложим каждое из данных выражений на множители.

а) ( 25 - y^2 )

Это выражение можно распознать как разность квадратов. Формула разности квадратов выглядит следующим образом:

[ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ]

В нашем случае:

• ( a^2 = 25 ) => ( a = 5 )
• ( b^2 = y^2 ) => ( b = y )

Теперь подставим ( a ) и ( b ) в формулу:

[ 25 - y^2 = 5^2 - y^2 = (5 - y)(5 + y) ]

Таким образом, разложение на множители выражения ( 25 - y^2 ) будет:

[ 25 - y^2 = (5 - y)(5 + y) ]

б) ( a^2 - 6ab + 9b^2 )

Это выражение является квадратом бинома. Формула для разложения квадратного трехчлена выглядит так:

[ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 ]

В нашем случае:

• ( a^2 = a^2 )
• ( 2ab = 6ab ) => ( ab = 3ab ) => это означает, что ( 2 \cdot 3 = 6 )
• ( b^2 = 9b^2 ) => ( b = 3b )

Здесь мы можем заметить, что ( 9b^2 ) является квадратом ( (3b)^2 ). Подставим в формулу:

[ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2 ]

Таким образом, разложение на множители выражения ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) будет:

[ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2 ]

Итог

1. ( 25 - y^2 = (5 - y)(5 + y) )
2. ( a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2 )

Эти разложения на множители позволяют упростить выражения и могут быть полезны для решения уравнений или упрощения алгебраических выражений.

Давайте разберем оба выражения и разложим их на множители.

а) ( 25 - y^2 )

Это выражение представляет собой разность квадратов. Формула разности квадратов имеет вид:

[ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) ]

Здесь:

• ( x^2 = 25 ), а значит ( x = \sqrt{25} = 5 ),
• ( y^2 ) остается ( y^2 ), а значит ( y = y ).

Используем формулу:

[ 25 - y^2 = (5 - y)(5 + y) ]

Ответ для пункта а: [ 25 - y^2 = (5 - y)(5 + y) ]

б) ( a^2 - 6ab + 9b^2 )

Это выражение является полным квадратом разности. Формула полного квадрата разности выглядит так:

[ (x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 ]

Сравним данное выражение ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) с этой формулой:

• ( x^2 = a^2 ), значит ( x = a ),
• ( 2xy = 6ab ), значит ( 2xy = 6ab ), отсюда ( y = 3b ),
• ( y^2 = 9b^2 ), что совпадает.

Таким образом, выражение ( a^2 - 6ab + 9b^2 ) можно записать как:

[ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2 ]

Ответ для пункта б: [ a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2 ]

Итоговые ответы:

а) ( 25 - y^2 = (5 - y)(5 + y) )
б) ( a^2 - 6ab + 9b^2 = (a - 3b)^2 )