Разложите на множители: 3x^3-3y^3+5x^2-5y^2

Для разложения выражения (3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2) на множители можно воспользоваться группировкой:

1. Выделим общие множители в первых двух и последних двух терминах: [ 3(x^3 - y^3) + 5(x^2 - y^2) ]

2. Используем формулы разности кубов и разности квадратов: [ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) ] [ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) ]

3. Подставим эти разложения в исходное выражение: [ 3(x - y)(x^2 + xy + y^2) + 5(x - y)(x + y) ]

4. Вынесем общий множитель ((x - y)): [ (x - y) \left[ 3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y) \right] ]

Таким образом, окончательное разложение: [ (x - y) \left[ 3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y) \right] ]

Чтобы разложить выражение (3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2) на множители, начнем с группировки членов.

1. Группировка: Мы можем сгруппировать первое и второе слагаемое, а также третье и четвертое: [ (3x^3 - 3y^3) + (5x^2 - 5y^2) ]

2. Вынесение общего множителя: В каждой группе мы можем вынести общий множитель. В первой группе (3) — общий множитель, а во второй группе (5): [ 3(x^3 - y^3) + 5(x^2 - y^2) ]

3. Использование формул разности кубов и разности квадратов:

   • Разложим (x^3 - y^3) по формуле разности кубов: [ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) ]
   • Разложим (x^2 - y^2) по формуле разности квадратов: [ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) ]

4. Подставим разложенные формы обратно: [ 3((x - y)(x^2 + xy + y^2)) + 5((x - y)(x + y)) ]

5. Вынесение общего множителя из всего выражения: Теперь мы можем вынести общий множитель ((x - y)): [ (x - y)\left[3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y)\right] ]

6. Упрощение оставшегося выражения: Теперь упрощаем выражение в квадратных скобках: [ 3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y) = 3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y ]

7. Запишем окончательный ответ: Таким образом, наше выражение разложенное на множители будет выглядеть так: [ (x - y)(3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y) ]

Это и есть окончательный ответ. Если необходимо, можно проверить, умножив обратно, чтобы убедиться, что полученное разложение соответствует исходному выражению.

Разложим выражение ( 3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2 ) на множители. Это выражение состоит из двух частей: ( 3x^3 - 3y^3 ) и ( 5x^2 - 5y^2 ). Рассмотрим их по отдельности.

Шаг 1: Разложение ( 3x^3 - 3y^3 )

Общий множитель в этой части — это ( 3 ). Вынесем его за скобки: [ 3x^3 - 3y^3 = 3(x^3 - y^3). ]

Теперь обратим внимание на ( x^3 - y^3 ). Это разность кубов, для которой существует формула разложения: [ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2). ]

Применим эту формулу к ( x^3 - y^3 ): [ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2). ]

Подставим это в разложение: [ 3x^3 - 3y^3 = 3(x - y)(x^2 + xy + y^2). ]

Шаг 2: Разложение ( 5x^2 - 5y^2 )

В этой части общий множитель — это ( 5 ). Вынесем его за скобки: [ 5x^2 - 5y^2 = 5(x^2 - y^2). ]

Теперь обратим внимание на ( x^2 - y^2 ). Это разность квадратов, для которой существует формула разложения: [ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). ]

Применим эту формулу к ( x^2 - y^2 ): [ x^2 - y^2 = (x - y)(x + y). ]

Подставим это в разложение: [ 5x^2 - 5y^2 = 5(x - y)(x + y). ]

Шаг 3: Собираем всё вместе

Теперь вернёмся к первоначальному выражению: [ 3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2. ]

Мы уже разложили обе части: [ 3x^3 - 3y^3 = 3(x - y)(x^2 + xy + y^2), ] [ 5x^2 - 5y^2 = 5(x - y)(x + y). ]

Заметим, что в обеих разложенных частях есть общий множитель ( x - y ). Вынесем его за скобки: [ 3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2 = (x - y) \Big[ 3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y) \Big]. ]

Шаг 4: Упростим выражение в квадратных скобках

Раскроем скобки в выражении ( 3(x^2 + xy + y^2) + 5(x + y) ): [ 3(x^2 + xy + y^2) = 3x^2 + 3xy + 3y^2, ] [ 5(x + y) = 5x + 5y. ]

Складываем эти два результата: [ 3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y. ]

Шаг 5: Финальное разложение

Таким образом, всё выражение можно записать в виде: [ 3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2 = (x - y) \Big( 3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y \Big). ]

Это и будет окончательный ответ.

Итог:

Разложение на множители: [ 3x^3 - 3y^3 + 5x^2 - 5y^2 = (x - y) \Big( 3x^2 + 3xy + 3y^2 + 5x + 5y \Big). ]