Разложить на множители x^3-27y^3+3x^2 y-9xy^2 решите пж

Для того чтобы разложить данное выражение на множители, можно воспользоваться формулой разности кубов: x^3 - a^3 = (x - a)(x^2 + ax + a^2)

Подставив в формулу наше выражение, получим: x^3 - 27y^3 = (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2)

Теперь разберемся с оставшимися слагаемыми: 3x^2 y - 9xy^2 = 3xy(x - 3y)

Итак, разложив данное выражение на множители, мы получим: (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2 + 3xy)

Для того чтобы разложить выражение ( x^3 - 27y^3 + 3x^2y - 9xy^2 ) на множители, воспользуемся методом группировки и формулами сокращенного умножения.

Шаг 1: Группируем члены выражения. [ x^3 - 27y^3 + 3x^2y - 9xy^2 = (x^3 - 27y^3) + (3x^2y - 9xy^2) ]

Шаг 2: Применяем формулы сокращенного умножения. Заметим, что ( x^3 - 27y^3 ) можно представить как разность кубов: [ x^3 - 27y^3 = x^3 - (3y)^3 ]

Разложение разности кубов: [ a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) ] где ( a = x ) и ( b = 3y ).

Следовательно, [ x^3 - 27y^3 = (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) ]

Шаг 3: Рассмотрим вторую часть выражения ( 3x^2y - 9xy^2 ): [ 3x^2y - 9xy^2 = 3xy(x - 3y) ]

Шаг 4: Объединяем разложенные части. У нас есть общий множитель ( x - 3y ): [ x^3 - 27y^3 + 3x^2y - 9xy^2 = (x - 3y)(x^2 + 3xy + 9y^2) + 3xy(x - 3y) ]

Шаг 5: Вынесем общий множитель ( x - 3y ) за скобки: [ = (x - 3y)\left[(x^2 + 3xy + 9y^2) + 3xy\right] ]

Шаг 6: Упростим выражение в скобках: [ (x^2 + 3xy + 9y^2) + 3xy = x^2 + 6xy + 9y^2 ]

Шаг 7: Заметим, что ( x^2 + 6xy + 9y^2 ) является квадратом суммы: [ x^2 + 6xy + 9y^2 = (x + 3y)^2 ]

Таким образом, окончательное разложение на множители: [ x^3 - 27y^3 + 3x^2y - 9xy^2 = (x - 3y)(x + 3y)^2 ]