Рассматривается линейная функция y=ax+b При каких значениях a и b её график: а) проходит через начало...

а) Для того чтобы график функции проходил через начало координат, необходимо, чтобы b=0. Тогда y=ax, и функция будет проходить через начало координат при любом значении a. б) Чтобы график проходил через начало координат и точку M (-1;3), необходимо, чтобы система уравнений y=ax и 3=a*(-1)+b была совместной. Решив эту систему, найдем значения a и b. в) Функция параллельна функции y=3x+5, если a=3. Графики параллельных функций имеют одинаковый наклон. г) Для того чтобы функция отсекала на осях координат равные отрезки, необходимо, чтобы a=-b. Таким образом, y=ax-a. д) Функция является биссектрисой координатного угла третьей четверти, если a=-b. Тогда y=ax-a. е) Для того чтобы функция проходила через точки M(3;8) и N(4;8), необходимо, чтобы уравнения функции для этих точек были совместны. Решив систему уравнений, найдем значения a и b. ж) Для того чтобы функция проходила через точки K(3;5) и H(-3;7), необходимо, чтобы уравнения функции для этих точек были совместны. Решив систему уравнений, найдем значения a и b. з) Функция проходит только через те точки, координаты которых имеют один знак, если a и b имеют один знак. и) Функция не проходит через точки, обе координаты которых положительны, если а и b имеют разные знаки.

Давайте рассмотрим каждое из условий последовательно:

а) Чтобы график функции ( y = ax + b ) проходил через начало координат (точку (0,0)), необходимо, чтобы при подстановке ( x = 0 ) получилось ( y = 0 ). Это возможно, когда ( b = 0 ). Следовательно, ( y = ax ).

б) Чтобы график функции проходил через начало координат и точку ( M(-1, 3) ), уже известно, что ( b = 0 ). Подставим координаты точки ( M ) в уравнение: ( 3 = a(-1) + 0 ). Отсюда ( a = -3 ). Таким образом, функция: ( y = -3x ).

в) Чтобы график функции ( y = ax + b ) был параллелен графику функции ( y = 3x + 5 ), необходимо, чтобы угловые коэффициенты этих функций были равны. Таким образом, ( a = 3 ). Параллельность не зависит от значения ( b ), поэтому ( b ) может быть любым.

г) График функции отсекает на осях координат равные отрезки, если расстояния от точки пересечения с осью ( x ) (где ( y = 0 )) и осью ( y ) (где ( x = 0 )) до начала координат равны. Это возможно, когда ( a = -1 ) и ( b = b \neq 0 ). Тогда уравнение будет иметь вид ( y = -x + b ), и точки пересечения с осями будут (b, 0) и (0, b).

д) Чтобы график функции являлся биссектрисой координатного угла третьей четверти, он должен проходить через точки (-1, -1) и иметь наклон, равный 1 или -1. Для третьей четверти это будет ( y = -x ), следовательно, ( a = -1 ), ( b = 0 ).

е) Чтобы график функции проходил через точки ( M(3, 8) ) и ( N(4, 8) ), необходимо, чтобы обе точки удовлетворяли уравнению. Поскольку ( y ) одинаково для обеих точек, это горизонтальная прямая, т.е., ( a = 0 ) и ( b = 8 ). Уравнение будет ( y = 8 ).

ж) Для прохождения через точки ( K(3, 5) ) и ( N(-3, 7) ) найдём угловой коэффициент ( a ). Формула для углового коэффициента: ( a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{7 - 5}{-3 - 3} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3} ). Подставим в уравнение одной из точек для нахождения ( b ): ( 5 = -\frac{1}{3} \cdot 3 + b ), отсюда ( b = 6 ). Уравнение: ( y = -\frac{1}{3}x + 6 ).

з) Чтобы график проходил только через те точки, координаты которых имеют один знак, необходимо, чтобы прямая находилась в первой и третьей четвертях. Например, ( a = 1 ), ( b = 0 ). Это уравнение ( y = x ).

и) Чтобы график не проходил через точки, обе координаты которых положительны, он должен располагаться в третьей и четвёртой четвертях. Например, ( a = -1 ), ( b = 0 ). Это уравнение ( y = -x ).

Надеюсь, что эти объяснения помогут вам разобраться в особенностях линейных функций и их графиков.