Приведите пример аналитического задания функции(с помощью одной формулы)

f(x) = 2x^2 - 3x + 5

Аналитическое задание функции подразумевает представление функции в виде одной формулы, которая описывает зависимость одной переменной от другой. Например, рассмотрим функцию, описывающую параболу:

[ f(x) = ax^2 + bx + c ]

где ( a ), ( b ) и ( c ) — это коэффициенты, которые определяют форму и положение параболы на координатной плоскости.

Расширенный ответ:

1. Коэффициенты:

   • ( a ) определяет направление и ширину параболы. Если ( a > 0 ), ветви параболы направлены вверх; если ( a < 0 ), ветви направлены вниз. Чем больше по абсолютной величине ( a ), тем "уже" парабола.
   • ( b ) влияет на наклон параболы и положение вершины вдоль оси ( x ).
   • ( c ) является свободным членом и определяет точку пересечения параболы с осью ( y ).

2. Вершина параболы:

   • Координаты вершины ( (x_v, y_v) ) можно найти по формулам: [ x_v = -\frac{b}{2a}, \quad y_v = f(x_v) = a\left(-\frac{b}{2a}\right)^2 + b\left(-\frac{b}{2a}\right) + c ]
   • Вершина является точкой максимума или минимума функции в зависимости от знака ( a ).

3. Осевые симметрии:

   • Парабола симметрична относительно вертикальной прямой ( x = x_v ), которая проходит через вершину.

4. Корни уравнения:

   • Корни или нули функции ( f(x) ) можно найти, решив квадратное уравнение ( ax^2 + bx + c = 0 ). Решения находятся по формуле: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]
   • Дискриминант ( D = b^2 - 4ac ) определяет число корней: если ( D > 0 ), уравнение имеет два различных корня; если ( D = 0 ), один корень; если ( D < 0 ), корней нет в области действительных чисел.

5. Пример:

   • Рассмотрим конкретный пример функции: ( f(x) = 2x^2 - 4x + 1 ).
   • Здесь ( a = 2 ), ( b = -4 ), ( c = 1 ).
   • Вершина параболы: ( x_v = 1 ), ( y_v = -1 ).
   • Корни уравнения: ( x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Таким образом, аналитическое задание функции с помощью одной формулы позволяет не только определить график функции, но и получить много информации о её свойствах и поведении.

Аналитическое задание функции включает в себя выражение функции через одну формулу. Например, задание функции f(x) = 2x^2 + 3x - 5 является аналитическим, так как данная функция определена одним алгебраическим выражением.