При каком значении параметра p система уравнений имеет 3 решения.

Рассмотрим общий случай задачи. Пусть дана система уравнений:

[ \begin{cases} f(x, p) = 0 \ g(x, p) = 0 \end{cases} ]

и требуется выяснить, при каком значении параметра ( p ) система имеет ровно три решения.

Для того чтобы система имела три решения, необходимо, чтобы графики функций ( f(x, p) ) и ( g(x, p) ) пересекались в трёх точках. Это означает, что одновременные корни системы (то есть точки пересечения графиков) должны быть равны трём.

Рассмотрим шаги анализа:

Шаг 1. Найти условия на пересечение графиков

Решение системы уравнений состоит в нахождении общих корней функций ( f(x, p) ) и ( g(x, p) ). Это требует анализа:

1. Графиков функций ( f(x, p) ) и ( g(x, p) ) в зависимости от параметра ( p ).
2. Условий, при которых графики пересекаются в трёх точках.

Шаг 2. Анализ возможных случаев

Задача сводится к исследованию значений параметра ( p ), при которых число пересечений графиков становится равным трём. Основные принципы:

1. Геометрический смысл. Графики могут пересекаться в трёх точках, если их формы и взаимное расположение позволяют это. Например, если ( f(x, p) ) — квадратная парабола, а ( g(x, p) ) — прямая, то графики могут пересекаться в двух или в одной точке, а для трёх точек пересечения потребуется специальный выбор параметра ( p ).

2. Кратные корни. Если при определённом значении ( p ) один из корней становится кратным (например, два корня совпадают), это уменьшает общее количество решений системы.

3. Особые случаи. Если система имеет два уравнения разного порядка (например, одно линейное, другое квадратичное или кубическое), важно учитывать, сколько пересечений возможно в зависимости от относительного положения графиков.

Шаг 3. Пример исследования

Рассмотрим пример:

[ \begin{cases} x^2 - p = 0 \ x - 1 = 0 \end{cases} ]

1. Из второго уравнения ( x - 1 = 0 ) сразу следует ( x = 1 ).
2. Подставляем ( x = 1 ) в первое уравнение: ( 1^2 - p = 0 ), откуда ( p = 1 ).
3. В данном случае система имеет единственное решение ( x = 1, p = 1 ).

Теперь рассмотрим другую систему:

[ \begin{cases} x^2 - p = 0 \ x^3 - x = 0 \end{cases} ]

1. Решим второе уравнение: ( x(x^2 - 1) = 0 ), откуда ( x = 0 ) или ( x = \pm 1 ).
2. Подставим эти значения в первое уравнение ( x^2 - p = 0 ):
   • Для ( x = 0 ): ( 0^2 - p = 0 ), откуда ( p = 0 ).
   • Для ( x = \pm 1 ): ( 1^2 - p = 0 ), откуда ( p = 1 ).
3. Таким образом, ( p = 0 ) и ( p = 1 ) — возможные значения параметра.

Теперь ищем ( p ), при котором система имеет ровно три решения. Заметим, что:

• При ( p = 1 ), решения: ( x = 1 ), ( x = -1 ), ( x = 0 ). (Ровно три решения.)
• При ( p = 0 ), решения: ( x = 0 ), ( x = 1 ), ( x = -1 ). (Тоже три решения.)

Ответ: ( p = 1 ) или ( p = 0 ).

Шаг 4. Вывод

Для задачи с конкретной системой уравнений нужно исследовать:

1. Взаимное расположение графиков функций;
2. Корни уравнений и их кратности;
3. Условия, при которых система имеет ровно три пересечения.

Процесс решения состоит из анализа каждого из уравнений и их совместного рассмотрения.

Чтобы определить, при каком значении параметра ( p ) система уравнений имеет 3 решения, необходимо рассмотреть саму систему и ее структуру. Обычно, когда речь идет о системах уравнений, имеющих множество решений, это связано с пересечением кривых или плоскостей, заданных уравнениями.

Рассмотрим систему из двух уравнений:

[ \begin{cases} f_1(x, y) = 0 \ f_2(x, y) = 0 \end{cases} ]

Для того чтобы система имела три решения, нужно, чтобы графики функций ( f_1 ) и ( f_2 ) пересекались в трех точках. Это может происходить в нескольких случаях, в зависимости от типа графиков (линейные, квадратичные и т.д.).

Пример: Система уравнений с параметром

Рассмотрим конкретный пример:

[ \begin{cases} y = x^2 + p \ y = 3x + 1 \end{cases} ]

Здесь первое уравнение представляет собой параболу, а второе — прямую. Для нахождения точек пересечения, мы приравняем два уравнения:

[ x^2 + p = 3x + 1 ]

Перепишем уравнение:

[ x^2 - 3x + (p - 1) = 0 ]

Теперь это квадратное уравнение имеет два корня, если дискриминант больше нуля:

[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (p - 1) = 9 - 4(p - 1) ]

Условия для существования двух корней:

[ D > 0 \implies 9 - 4(p - 1) > 0 \implies 9 - 4p + 4 > 0 \implies 13 - 4p > 0 \implies p < \frac{13}{4} ]

Для 3 решений

Чтобы система имела три решения, одна из кривых должна касаться другой в одной точке и пересекаться в другой. Это означает, что дискриминант должен равняться нулю в одной точке (для касания) и быть больше нуля в других:

1. Для касания: ( D = 0 )
2. Для пересечения: ( D > 0 )

При ( D = 0 ):

[ 9 - 4(p - 1) = 0 \implies 9 - 4p + 4 = 0 \implies 13 - 4p = 0 \implies p = \frac{13}{4} ]

При этом значение ( p ) обеспечивает ровно 2 решения, а для 3 решений необходимо, чтобы при немного изменённом ( p ) было больше двух.

Таким образом, для системы иметь 3 решения, ( p ) должно находиться в пределах:

[ p = \frac{13}{4} ]

Окончательный ответ: система уравнений имеет 3 решения при ( p = \frac{13}{4} ).