При каком значении n векторы а(3;-2n;n) и b(2;2;-3) будут перпендикулярными

Для того чтобы векторы (\mathbf{a} = (3, -2n, n)) и (\mathbf{b} = (2, 2, -3)) были перпендикулярными, необходимо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.

Скалярное произведение двух векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}) определяется как:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 ]

Подставим значения координат векторов (\mathbf{a}) и (\mathbf{b}):

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 3 \cdot 2 + (-2n) \cdot 2 + n \cdot (-3) ]

Упростим выражение:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 - 4n - 3n ]

Соберем подобные члены:

[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 6 - 7n ]

Для того чтобы векторы были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

[ 6 - 7n = 0 ]

Решим это уравнение для (n):

[ 6 = 7n ]

[ n = \frac{6}{7} ]

Таким образом, векторы (\mathbf{a} = (3, -2n, n)) и (\mathbf{b} = (2, 2, -3)) будут перпендикулярными при (n = \frac{6}{7}).

Для того чтобы векторы а(3;-2n;n) и b(2;2;-3) были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно нулю.

Скалярное произведение векторов a и b равно сумме произведений их соответствующих координат: 32 + (-2n)2 + n*(-3) = 6 - 4n - 3n = 6 - 7n.

Для того чтобы векторы были перпендикулярными, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение равнялось нулю: 6 - 7n = 0.

Отсюда получаем, что -7n = -6, и, следовательно, n = 6/7. Таким образом, при n = 6/7 векторы a(3; -12/7; 6/7) и b(2; 2; -3) будут перпендикулярными.