При каком отрицательном значении параметра р один из корней квадратного уравнения х^2+рх+36=0 на 4 меньше другого?
При каком отрицательном значении параметра р один из корней квадратного уравнения х^2+рх+36=0 на 4 меньше другого?
При значении параметра р равном -12 один из корней квадратного уравнения будет на 4 меньше другого.
Рассмотрим квадратное уравнение:
[ x^2 + px + 36 = 0. ]
Пусть корни этого уравнения ( x_1 ) и ( x_2 ). Согласно условию, один из корней на 4 меньше другого. Без потери общности, предположим, что:
[ x_2 = x_1 - 4. ]
Согласно теореме Виета для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ), сумма корней равна (-\frac{b}{a}), а произведение корней равно (\frac{c}{a}). В нашем случае:
[ x_1 + x_2 = -p, ] [ x_1 \cdot x_2 = 36. ]
Подставим ( x_2 = x_1 - 4 ) в уравнение для суммы корней:
[ x_1 + (x_1 - 4) = -p, ]
что упрощается до:
[ 2x_1 - 4 = -p. ]
Отсюда:
[ 2x_1 = -p + 4, ] [ x_1 = \frac{-p + 4}{2}. ]
Теперь подставим ( x_1 ) и ( x_2 = x_1 - 4 ) в уравнение для произведения корней:
[ x_1 \cdot (x_1 - 4) = 36. ]
Заменим ( x_1 ):
[ \left(\frac{-p + 4}{2}\right)\left(\frac{-p + 4}{2} - 4 \right) = 36. ]
Упростим вторую скобку:
[ \frac{-p + 4}{2} - 4 = \frac{-p + 4 - 8}{2} = \frac{-p - 4}{2}. ]
Теперь уравнение для произведения корней:
[ \left(\frac{-p + 4}{2}\right)\left(\frac{-p - 4}{2}\right) = 36. ]
[ \frac{(-p + 4)(-p - 4)}{4} = 36. ]
Умножим обе стороны на 4:
[ (-p + 4)(-p - 4) = 144. ]
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов:
[ p^2 - 16 = 144. ]
Отсюда:
[ p^2 = 160. ]
Таким образом, ( p = \pm\sqrt{160} ). Поскольку значение параметра ( p ) отрицательное, выбираем:
[ p = -\sqrt{160}. ]
Упростим (\sqrt{160}):
[ \sqrt{160} = \sqrt{16 \times 10} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{10} = 4\sqrt{10}. ]
Таким образом, отрицательное значение параметра ( p ) равно:
[ p = -4\sqrt{10}. ]
Это значение параметра ( p ) соответствует условию задачи, где один из корней уравнения на 4 меньше другого.
Для того чтобы один из корней квадратного уравнения х^2 + рх + 36 = 0 был на 4 меньше другого, нужно использовать формулу дискриминанта и знать, что дискриминант равен нулю в этом случае.
Дискриминант квадратного уравнения D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = р, c = 36.
Таким образом, D = р^2 - 4 1 36 = р^2 - 144.
Для того чтобы один из корней был на 4 меньше другого, дискриминант должен быть равен нулю: р^2 - 144 = 0.
Отсюда получаем: р^2 = 144, р = ±12.
Таким образом, при отрицательном значении параметра р равном -12 один из корней квадратного уравнения х^2 + (-12)х + 36 = 0 будет на 4 меньше другого.
