При каких значениях x выражение √-x²-17x-72 имеет смысл

Данное выражение имеет смысл, когда подкоренное выражение -x²-17x-72 больше или равно нулю, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа не имеет смысла в действительных числах.

Для того чтобы выражение √-x²-17x-72 имело смысл, необходимо найти область значений переменной x, при которых -x²-17x-72 ≥ 0.

Для этого можно решить квадратное неравенство -x²-17x-72 ≥ 0, используя методы решения квадратных неравенств. Получим два корня уравнения, и затем определим интервалы, на которых неравенство выполняется.

Таким образом, выражение √-x²-17x-72 имеет смысл при значениях x, принадлежащих найденным интервалам.

Чтобы найти значения ( x ), при которых выражение ( \sqrt{-x^2 - 17x - 72} ) имеет смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным. То есть, нужно решить неравенство:

[ -x^2 - 17x - 72 \geq 0 ]

Для этого сначала умножим неравенство на -1, поменяв знак неравенства:

[ x^2 + 17x + 72 \leq 0 ]

Теперь решим квадратное неравенство. Для начала найдем корни соответствующего уравнения:

[ x^2 + 17x + 72 = 0 ]

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} ]

где ( a = 1 ), ( b = 17 ), ( c = 72 ). Подставим эти значения в формулу:

[ x = \frac{{-17 \pm \sqrt{{17^2 - 4 \cdot 1 \cdot 72}}}}{2 \cdot 1} ]

[ x = \frac{{-17 \pm \sqrt{{289 - 288}}}}{2} ]

[ x = \frac{{-17 \pm \sqrt{1}}}{2} ]

[ x_1 = \frac{{-17 + 1}}{2} = -8 ]

[ x_2 = \frac{{-17 - 1}}{2} = -9 ]

Теперь у нас есть корни ( x = -8 ) и ( x = -9 ). Разобьём числовую прямую на интервалы с использованием этих корней: ( (-\infty, -9) ), ( (-9, -8) ), ( (-8, \infty) ).

Проверим знак выражения ( x^2 + 17x + 72 ) на каждом из интервалов. Выберем тестовые точки из каждого интервала:

1. Для интервала ( (-\infty, -9) ), возьмем тестовую точку ( x = -10 ): [ (-10)^2 + 17(-10) + 72 = 100 - 170 + 72 = 2 ] Положительное значение, следовательно, на интервале ( (-\infty, -9) ) выражение положительно.

2. Для интервала ( (-9, -8) ), возьмем тестовую точку ( x = -8.5 ): [ (-8.5)^2 + 17(-8.5) + 72 = 72.25 - 144.5 + 72 = -0.25 ] Отрицательное значение, следовательно, на интервале ( (-9, -8) ) выражение отрицательно.

3. Для интервала ( (-8, \infty) ), возьмем тестовую точку ( x = 0 ): [ 0^2 + 17(0) + 72 = 72 ] Положительное значение, следовательно, на интервале ( (-8, \infty) ) выражение положительно.

Таким образом, выражение ( x^2 + 17x + 72 \leq 0 ) выполняется на интервале ( [-9, -8] ).

Следовательно, выражение ( \sqrt{-x^2 - 17x - 72} ) имеет смысл при ( x \in [-9, -8] ).