При каких значениях параметра p уравнение 3x^2+px-p=0 имеет 1 корень

Чтобы уравнение ( 3x^2 + px - p = 0 ) имело ровно один корень, необходимо, чтобы его дискриминант ( D ) был равен нулю. Это связано с тем, что дискриминант определяет количество корней квадратного уравнения:

• ( D > 0 ): два различных корня,
• ( D = 0 ): один корень (кратный, или двойной корень),
• ( D < 0 ): корней нет (множество решений пустое в действительных числах).

Итак, начнем с вычисления дискриминанта для уравнения ( 3x^2 + px - p = 0 ). Дискриминант для общего квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac. ]

В данном случае:

• ( a = 3 ),
• ( b = p ),
• ( c = -p ).

Подставляем эти значения в формулу дискриминанта:

[ D = p^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p). ]

Упростим выражение:

[ D = p^2 + 12p. ]

Чтобы уравнение имело один корень, нужно потребовать, чтобы дискриминант был равен нулю:

[ D = 0 \implies p^2 + 12p = 0. ]

Теперь решим это уравнение. Вынесем ( p ) за скобку:

[ p(p + 12) = 0. ]

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два решения:

[ p = 0 \quad \text{или} \quad p + 12 = 0. ]

Решив второе уравнение, находим:

[ p = -12. ]

Итак, уравнение ( 3x^2 + px - p = 0 ) имеет ровно один корень, если ( p = 0 ) или ( p = -12 ).

Проверка

1. Если ( p = 0 ), то уравнение становится: [ 3x^2 = 0. ] Делим на 3: [ x^2 = 0 \implies x = 0. ] Это один корень.

2. Если ( p = -12 ), то уравнение принимает вид: [ 3x^2 - 12x + 12 = 0. ] Найдем дискриминант: [ D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0. ] Дискриминант равен нулю, значит, уравнение имеет один корень (двойной). Находим этот корень по формуле: [ x = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-12)}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2. ] Это один корень.

Ответ:

Уравнение ( 3x^2 + px - p = 0 ) имеет ровно один корень при ( p = 0 ) или ( p = -12 ).

Уравнение имеет один корень, если дискриминант равен нулю. Для уравнения (3x^2 + px - p = 0) дискриминант (D) равен:

[ D = p^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p) = p^2 + 12p ]

Чтобы уравнение имело один корень, необходимо, чтобы (D = 0):

[ p^2 + 12p = 0 ]

Решим это уравнение:

[ p(p + 12) = 0 ]

Таким образом, (p = 0) или (p = -12).

Уравнение имеет один корень при (p = 0) или (p = -12).

Уравнение (3x^2 + px - p = 0) является квадратным уравнением. Для того чтобы оно имело ровно один корень, необходимо, чтобы его дискриминант был равен нулю.

Дискриминант квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0) вычисляется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае:

• (a = 3)
• (b = p)
• (c = -p)

Подставим значения в формулу для дискриминанта:

[ D = p^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-p) ] [ D = p^2 + 12p ]

Теперь, чтобы уравнение имело ровно один корень, мы приравняем дискриминант к нулю:

[ p^2 + 12p = 0 ]

Факторизуем это уравнение:

[ p(p + 12) = 0 ]

Теперь мы можем найти значения параметра (p):

1. (p = 0)
2. (p + 12 = 0 \Rightarrow p = -12)

Таким образом, уравнение (3x^2 + px - p = 0) будет иметь ровно один корень при (p = 0) и (p = -12).

Проверка корней

1. Для (p = 0):

   Уравнение становится: [ 3x^2 = 0 ] Это уравнение имеет один корень (x = 0).

2. Для (p = -12):

   Уравнение становится: [ 3x^2 - 12x + 12 = 0 ] Находим дискриминант: [ D = (-12)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12 = 144 - 144 = 0 ] Уравнение также имеет один корень, который можно найти по формуле: [ x = \frac{-b}{2a} = \frac{12}{2 \cdot 3} = 2 ]

Заключение

Таким образом, уравнение (3x^2 + px - p = 0) имеет ровно один корень при значениях параметра (p = 0) и (p = -12).