При каких значениях параметра p уравнение 2x^2+px-p=0 не имеет корней. пожалуйста, решите с подробным...

Чтобы уравнение ( 2x^2 + px - p = 0 ) не имело корней, дискриминант этого уравнения должен быть меньше нуля.

Для квадратного уравнения ( ax^2 + bx + c = 0 ) дискриминант определяется как:

[ D = b^2 - 4ac ]

В нашем случае ( a = 2 ), ( b = p ), ( c = -p ). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

[ D = p^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-p) = p^2 + 8p ]

Теперь, чтобы уравнение не имело корней, необходимо, чтобы дискриминант был меньше нуля:

[ p^2 + 8p < 0 ]

Решим неравенство. Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

[ p^2 + 8p = 0 ]

Факторизуем:

[ p(p + 8) = 0 ]

Корни: ( p = 0 ) и ( p = -8 ).

Теперь определим знак выражения ( p(p + 8) ) на интервалах, определяемых этими корнями: ( (-\infty, -8) ), ( (-8, 0) ), ( (0, \infty) ).

1. Для ( p < -8 ) (например, ( p = -9 )): [ (-9)(-9 + 8) = -9 \cdot (-1) = 9 > 0 ]

2. Для ( -8 < p < 0 ) (например, ( p = -4 )): [ (-4)(-4 + 8) = -4 \cdot 4 = -16 < 0 ]

3. Для ( p > 0 ) (например, ( p = 1 )): [ 1(1 + 8) = 1 \cdot 9 = 9 > 0 ]

Таким образом, неравенство ( p^2 + 8p < 0 ) выполняется в промежутке:

[ (-8, 0) ]

Ответ: уравнение ( 2x^2 + px - p = 0 ) не имеет корней при ( p \in (-8, 0) ).

Чтобы найти значения параметра ( p ), при которых уравнение ( 2x^2 + px - p = 0 ) не имеет корней, нужно рассмотреть дискриминант квадратного уравнения. Уравнение не будет иметь корней, если дискриминант меньше нуля (( D < 0 )).

Уравнение:

[ 2x^2 + px - p = 0 ]

Это квадратное уравнение имеет вид ( ax^2 + bx + c = 0 ), где:

• ( a = 2 ) (коэффициент при ( x^2 )),
• ( b = p ) (коэффициент при ( x )),
• ( c = -p ) (свободный член).

Формула дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac ]

Подставим коэффициенты ( a = 2 ), ( b = p ), ( c = -p ) в формулу дискриминанта:

[ D = p^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-p) ]

Упростим выражение:

[ D = p^2 + 8p ]

Условие отсутствия корней:

Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля:

[ D < 0 ]

Подставим ( D = p^2 + 8p ):

[ p^2 + 8p < 0 ]

Решим неравенство:

1. Вынесем общий множитель ( p ) за скобки:

[ p(p + 8) < 0 ]

1. Найдем корни квадратного уравнения ( p(p + 8) = 0 ):

[ p = 0 \quad \text{и} \quad p = -8 ]

1. Разделим числовую ось на интервалы ( (-\infty, -8) ), ( (-8, 0) ), ( (0, +\infty) ) и проведем проверку знаков произведения ( p(p + 8) ) на каждом из интервалов:

   • Если ( p \in (-\infty, -8) ), то ( p < 0 ) и ( p + 8 < 0 ). Произведение ( p(p + 8) > 0 ); знак ( + ).
   • Если ( p \in (-8, 0) ), то ( p < 0 ), а ( p + 8 > 0 ). Произведение ( p(p + 8) < 0 ); знак ( - ).
   • Если ( p \in (0, +\infty) ), то ( p > 0 ) и ( p + 8 > 0 ). Произведение ( p(p + 8) > 0 ); знак ( + ).

2. Нас интересует область, где произведение ( p(p + 8) < 0 ), то есть отрицательное. Это происходит на интервале:

[ p \in (-8, 0) ]

Ответ:

Уравнение ( 2x^2 + px - p = 0 ) не имеет корней при:

[ p \in (-8, 0) ]

Чтобы определить значения параметра ( p ), при которых уравнение ( 2x^2 + px - p = 0 ) не имеет корней, необходимо рассмотреть дискриминант данного квадратного уравнения. Квадратное уравнение имеет вид ( ax^2 + bx + c = 0 ), где ( a = 2 ), ( b = p ), ( c = -p ).

Дискриминант ( D ) квадратного уравнения определяется по формуле:

[ D = b^2 - 4ac ]

Подставим наши значения:

[ D = p^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-p) = p^2 + 8p ]

Уравнение не имеет корней, если дискриминант меньше нуля:

[ D < 0 ]

Это приводит нас к неравенству:

[ p^2 + 8p < 0 ]

Чтобы решить это неравенство, сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения:

[ p^2 + 8p = 0 ]

Вынесем ( p ) за скобки:

[ p(p + 8) = 0 ]

Таким образом, корни уравнения:

[ p = 0 \quad \text{и} \quad p + 8 = 0 \Rightarrow p = -8 ]

Теперь у нас есть два корня: ( p = -8 ) и ( p = 0 ). Рассмотрим знак выражения ( p(p + 8) ) на промежутках, определяемых этими корнями: ( (-\infty, -8) ), ( (-8, 0) ), и ( (0, +\infty) ).

1. На промежутке ( (-\infty, -8) ):

   • Если взять, например, ( p = -9 ): [ (-9)(-9 + 8) = (-9)(-1) = 9 > 0 ] Это значение положительно.

2. На промежутке ( (-8, 0) ):

   • Если взять, например, ( p = -1 ): [ (-1)(-1 + 8) = (-1)(7) = -7 < 0 ] Это значение отрицательно.

3. На промежутке ( (0, +\infty) ):

   • Если взять, например, ( p = 1 ): [ (1)(1 + 8) = (1)(9) = 9 > 0 ] Это значение положительно.

Теперь мы можем заключить, что:

• ( p(p + 8) < 0 ) только на промежутке ( (-8, 0) ).

Таким образом, уравнение ( 2x^2 + px - p = 0 ) не имеет корней при значениях параметра ( p ) в интервале:

[ p \in (-8, 0) ]