При каких значениях параметра а уравнение x^2-4/x+a =0, имеет единственное решение?

Уравнение x^2-4/x+a=0 имеет единственное решение при a = -4.

Рассмотрим уравнение:

[ \frac{x^2 - 4}{x} + a = 0. ]

Перепишем его в более удобной форме:

[ \frac{x^2 - 4}{x} = -a. ]

Чтобы избавиться от дроби, умножим обе части на (x) (при этом (x \neq 0)):

[ x^2 - 4 = -ax. ]

Перенесем все члены в одну сторону уравнения:

[ x^2 + ax - 4 = 0. ]

Это квадратное уравнение относительно переменной (x). Для того чтобы уравнение имело единственное решение, его дискриминант должен быть равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения (x^2 + ax - 4 = 0) равен:

[ D = b^2 - 4ac = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = a^2 + 16. ]

Для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо:

[ a^2 + 16 = 0. ]

Очевидно, что (a^2 + 16) не может быть равным нулю для действительных значений параметра (a), так как (a^2 \geq 0) для любых действительных чисел (a), а (16 > 0). Таким образом, дискриминант всегда положителен для действительных (a), что означает наличие двух различных решений для любого значения (a).

Если рассматривать уравнение в контексте наличия единственного действительного решения, ситуация возможна только для случая, когда (x = 0) является единственным корнем. Однако при (x = 0) начальное уравнение (\frac{x^2 - 4}{x} + a = 0) не определено, так как знаменатель обращается в ноль.

Таким образом, для действительных значений параметра (a) уравнение (\frac{x^2 - 4}{x} + a = 0) не может иметь единственного решения.

Для того чтобы уравнение x^2 - 4/x + a = 0 имело единственное решение, необходимо, чтобы дискриминант этого уравнения был равен нулю. Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac.

В данном случае у нас есть уравнение x^2 - 4/x + a = 0, где a - параметр. Приведем его к стандартному виду квадратного уравнения:

x^2 - 4/x + a = 0 x^3 + ax - 4 = 0

Теперь мы видим, что коэффициент при x^2 равен 1, коэффициент при x равен a, а свободный член равен -4.

Дискриминант этого уравнения будет равен D = a^2 - 4 1 (-4) = a^2 + 16.

Для того чтобы уравнение имело единственное решение, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:

a^2 + 16 = 0 a^2 = -16 a = ±√(-16)

Так как корень из отрицательного числа не существует в действительных числах, уравнение x^2 - 4/x + a = 0 имеет единственное решение при значении параметра a равном ±√(-16), что означает, что уравнение имеет единственное решение при a = ±4i, где i - мнимая единица.