При каких значениях х имеет смысл выражение:под корнем (x^2-4)x

Для того чтобы выражение ((x^2 - 4)x) имело смысл, необходимо, чтобы подкоренное выражение было определено. В данном случае, подкоренное выражение — это произведение ((x^2 - 4)x).

1. Определенность подкоренного выражения:

   • Для выражения под знаком корня необходимо, чтобы оно было неотрицательным, так как извлечение корня из отрицательного числа в области действительных чисел не определено. Следовательно, ((x^2 - 4)x \geq 0).

2. Анализ неравенства ((x^2 - 4)x \geq 0):

   • Неравенство ((x^2 - 4)x \geq 0) можно переписать как (x(x^2 - 4) \geq 0).
   • Разложим (x^2 - 4) на множители: (x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)).

3. Решение неравенства:

   • Теперь неравенство принимает вид: (x(x - 2)(x + 2) \geq 0).
   • Найдем нули функции: (x = 0), (x = 2), (x = -2).
   • Разобьем числовую прямую на интервалы: ((-∞, -2)), ((-2, 0)), ( (0, 2)), и ( (2, ∞)).

4. Определение знаков на интервалах:

   • На каждом из интервалов определим знак произведения (x(x - 2)(x + 2)):
     • На интервале ((-∞, -2)): Все три множителя отрицательны, поэтому произведение отрицательно.
     • На интервале ((-2, 0)): (x) и ((x - 2)) отрицательны, а ((x + 2)) положительно, произведение положительно.
     • На интервале ((0, 2)): (x) положительно, ((x - 2)) отрицательно, и ((x + 2)) положительно, произведение отрицательно.
     • На интервале ((2, ∞)): Все три множителя положительны, поэтому произведение положительно.

5. Учет нулей:

   • В точках (x = -2), (x = 0), и (x = 2) произведение равно нулю, что удовлетворяет условию неравенства (\geq 0).

6. Объединение результатов:

   • Решением неравенства являются промежутки, на которых выражение неотрицательно: ([-2, 0] \cup [2, ∞)).

Таким образом, выражение (\sqrt{(x^2 - 4)x}) имеет смысл при (x \in [-2, 0] \cup [2, ∞)).

Выражение имеет смысл при значениях х, для которых x^2 - 4 ≥ 0.

Данное выражение имеет смысл, когда выражение под корнем больше или равно нулю, так как извлечение квадратного корня из отрицательного числа невозможно в действительных числах.

Таким образом, для выражения (x^2-4)x имеет смысл, когда x^2 - 4 >= 0. Решим это неравенство:

x^2 - 4 >= 0 (x-2)(x+2) >= 0

Теперь найдем интервалы, при которых это неравенство выполняется. Рассмотрим три интервала:

1. x < -2
2. -2 < x < 2
3. x > 2

Подставим в неравенство значения из каждого интервала:

1. При x < -2: (-)(-) >= 0, неравенство не выполняется
2. При -2 < x < 2: (+)(-) >= 0, неравенство не выполняется
3. При x > 2: (+)(+) >= 0, неравенство выполняется

Итак, выражение (x^2-4)x имеет смысл при x > 2.