При каких значениях х дробь принимает целые значения. 9/х-5

Рассмотрим дробь ( \frac{9}{x-5} ). Нам нужно определить, при каких значениях ( x ) эта дробь принимает целые значения.

Шаг 1: Формулировка задачи

Для того чтобы дробь ( \frac{9}{x-5} ) была целым числом, её значение должно быть целым, т.е. результат деления числителя ( 9 ) на знаменатель ( x-5 ) должен быть целым числом. Это означает, что знаменатель ( x-5 ) должен быть делителем числителя ( 9 ).

Шаг 2: Разложение числителя на множители

Число ( 9 ) можно разложить на все его делители (как положительные, так и отрицательные), так как целое число может быть как положительным, так и отрицательным. Делители числа ( 9 ) таковы: [ \pm 1, \pm 3, \pm 9 ]

Шаг 3: Определение ( x-5 )

Знаменатель ( x-5 ) должен быть равен одному из этих делителей. То есть: [ x-5 = \pm 1, \pm 3, \pm 9 ]

Шаг 4: Решение для ( x )

Решим каждое из этих уравнений для ( x ):

1. ( x-5 = 1 ) → ( x = 6 )
2. ( x-5 = -1 ) → ( x = 4 )
3. ( x-5 = 3 ) → ( x = 8 )
4. ( x-5 = -3 ) → ( x = 2 )
5. ( x-5 = 9 ) → ( x = 14 )
6. ( x-5 = -9 ) → ( x = -4 )

Шаг 5: Проверка

Если ( x ) принимает одно из найденных значений, то знаменатель ( x-5 ) будет делителем ( 9 ), а значение дроби ( \frac{9}{x-5} ) будет целым числом. Проверим все значения ( x ):

• При ( x = 6 ): ( x-5 = 1 ), ( \frac{9}{1} = 9 ) (целое число)
• При ( x = 4 ): ( x-5 = -1 ), ( \frac{9}{-1} = -9 ) (целое число)
• При ( x = 8 ): ( x-5 = 3 ), ( \frac{9}{3} = 3 ) (целое число)
• При ( x = 2 ): ( x-5 = -3 ), ( \frac{9}{-3} = -3 ) (целое число)
• При ( x = 14 ): ( x-5 = 9 ), ( \frac{9}{9} = 1 ) (целое число)
• При ( x = -4 ): ( x-5 = -9 ), ( \frac{9}{-9} = -1 ) (целое число)

Все значения ( x ) из нашего решения подходят.

Ответ:

Дробь ( \frac{9}{x-5} ) принимает целые значения, если ( x ) принимает одно из следующих значений: [ x = 6, 4, 8, 2, 14, -4 ]

Чтобы определить, при каких значениях ( x ) дробь ( \frac{9}{x - 5} ) принимает целые значения, необходимо рассмотреть, когда числитель делится нацело на знаменатель.

Шаг 1: Определим целочисленное значение

Дробь ( \frac{9}{x - 5} ) будет целым числом, если ( x - 5 ) является делителем 9. То есть, нужно найти все возможные делители 9.

Шаг 2: Найдем делители числа 9

Число 9 имеет следующие делители:

• 1
• -1
• 3
• -3
• 9
• -9

Шаг 3: Запишем уравнения для ( x )

Теперь мы можем записать уравнения для ( x ) на основе найденных делителей:

1. ( x - 5 = 1 ) → ( x = 6 )
2. ( x - 5 = -1 ) → ( x = 4 )
3. ( x - 5 = 3 ) → ( x = 8 )
4. ( x - 5 = -3 ) → ( x = 2 )
5. ( x - 5 = 9 ) → ( x = 14 )
6. ( x - 5 = -9 ) → ( x = -4 )

Шаг 4: Подведем итоги

Таким образом, дробь ( \frac{9}{x - 5} ) будет принимать целые значения для следующих значений ( x ):

• ( x = 6 )
• ( x = 4 )
• ( x = 8 )
• ( x = 2 )
• ( x = 14 )
• ( x = -4 )

Дополнительные замечания

1. Обратите внимание, что значение ( x = 5 ) не подходит, так как в этом случае дробь становится неопределенной (деление на ноль).
2. Вычислим значения дроби для найденных ( x ):
   • ( x = 6 ): ( \frac{9}{1} = 9 )
   • ( x = 4 ): ( \frac{9}{-1} = -9 )
   • ( x = 8 ): ( \frac{9}{3} = 3 )
   • ( x = 2 ): ( \frac{9}{-3} = -3 )
   • ( x = 14 ): ( \frac{9}{9} = 1 )
   • ( x = -4 ): ( \frac{9}{-9} = -1 )

Таким образом, дробь принимает целые значения для указанных значений ( x ).