При каких значениях х дробь корень х-корень 7/ х-7 принимает наибольшее значение?

Чтобы найти, при каких значениях ( x ) дробь

[ f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} ]

принимает наибольшее значение, начнем с выяснения области определения функции.

1. Область определения:
   • Дробь не определена, когда знаменатель равен нулю, то есть при ( x = 7 ).
   • Также необходимо, чтобы ( \sqrt{x} ) была определена, то есть ( x \geq 0 ).

Таким образом, область определения функции: ( x \geq 0, x \neq 7 ).

1. Анализ поведения функции:
   • Чтобы исследовать функцию на максимумы и минимумы, найдем ее производную.

Применим правило частного для нахождения производной:

[ f'(x) = \frac{(x - 7)(\frac{1}{2\sqrt{x}}) - (\sqrt{x} - \sqrt{7})(1)}{(x - 7)^2} ]

Упрощая числитель:

[ = (x - 7)\frac{1}{2\sqrt{x}} - (\sqrt{x} - \sqrt{7}) ]

Объединим дроби:

[ = \frac{(x - 7) - 2\sqrt{x}(\sqrt{x} - \sqrt{7})}{2\sqrt{x}} ] [ = \frac{x - 7 - 2x + 2\sqrt{7x}}{2\sqrt{x}} = \frac{-x + 2\sqrt{7x} - 7}{2\sqrt{x}} ]

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

[ -x + 2\sqrt{7x} - 7 = 0 ]

Перепишем это уравнение:

[ 2\sqrt{7x} = x + 7 ]

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

[ 4 \cdot 7x = (x + 7)^2 ] [ 28x = x^2 + 14x + 49 ] [ 0 = x^2 - 14x + 49 ]

Решим квадратное уравнение:

[ (x - 7)^2 = 0 ]

Таким образом, ( x = 7 ) - это точка, в которой производная равна нулю, но она не входит в область определения функции.

1. Исследование пределов:

   • Исследуем поведение функции ( f(x) ) при ( x \to 0 ):

   [ f(0) = \frac{\sqrt{0} - \sqrt{7}}{0 - 7} = \frac{-\sqrt{7}}{-7} = \frac{\sqrt{7}}{7} ]

   • Исследуем поведение функции при ( x \to 7 ) с обеих сторон:

     • При ( x \to 7^- ): ( f(x) \to -\infty ).
     • При ( x \to 7^+ ): ( f(x) \to +\infty ).

   • Исследуем поведение функции при ( x \to +\infty ):

   [ \lim{x \to +\infty} f(x) = \lim{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/\sqrt{x}}{1} = 0 ]

2. Вывод:

   • Функция ( f(x) ) принимает наибольшее значение в точке, когда ( x \to 7^+ ), то есть ( f(x) \to +\infty ).
   • Однако, на промежутке ( [0, 7) ) функция имеет конечное значение, равное ( \frac{\sqrt{7}}{7} ) при ( x = 0 ), и убывает до ( -\infty ) при приближении к 7.

Таким образом, наибольшее значение дроби ( \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7} ) достигается при ( x \to 7^+ ) и равно ( +\infty ), а в пределах ( x \in [0, 7) ) наименьшее значение достигается при ( x = 0 ).

Рассмотрим дробь:

[ f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7}. ]

Мы хотим найти такие значения (x), при которых эта дробь принимает наибольшее значение. Для этого нужно выполнить анализ функции.

1. Область определения функции

Для того чтобы функция (f(x)) была определена:

• Подкоренное выражение (\sqrt{x}) должно быть неотрицательным, то есть (x \geq 0).
• Знаменатель (x - 7 \neq 0), то есть (x \neq 7).

Таким образом, область определения функции: (x \geq 0, x \neq 7).

2. Упрощение выражения

Попробуем преобразовать дробь:

[ f(x) = \frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7}. ]

Здесь знаменатель (x - 7) можно разложить, используя формулу разности квадратов. Умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{x} + \sqrt{7}), чтобы избавиться от иррациональности в числителе:

[ f(x) = \frac{(\sqrt{x} - \sqrt{7})(\sqrt{x} + \sqrt{7})}{(x - 7)(\sqrt{x} + \sqrt{7})}. ]

В числителе ((\sqrt{x} - \sqrt{7})(\sqrt{x} + \sqrt{7}) = x - 7), и функция принимает вид:

[ f(x) = \frac{x - 7}{(x - 7)(\sqrt{x} + \sqrt{7})}. ]

Сокращаем на (x - 7) (при условии (x \neq 7)):

[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{7}}. ]

3. Анализ функции

Теперь функция представлена в более удобной форме:

[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{7}}. ]

Поведение функции:

• (\sqrt{x} \geq 0), следовательно, (\sqrt{x} + \sqrt{7} > 0), и функция (f(x)) определена на всей области (x \geq 0, x \neq 7).
• Чем больше (\sqrt{x}), тем больше (\sqrt{x} + \sqrt{7}), а значит, значение (f(x)) уменьшается.
• Чем меньше (\sqrt{x}), тем меньше (\sqrt{x} + \sqrt{7}), а значит, значение (f(x)) увеличивается.

Таким образом, (f(x)) достигает наибольшего значения, когда (\sqrt{x}) минимально, то есть при (x) минимально возможном в области определения.

4. Наибольшее значение

• В области определения (x \geq 0, x \neq 7), минимальное значение (x) равно (0).
• Подставим (x = 0) в функцию:

[ f(0) = \frac{1}{\sqrt{0} + \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{7}}. ]

Таким образом, функция (f(x)) достигает наибольшего значения, равного (\frac{1}{\sqrt{7}}), при (x = 0).

Ответ:

Функция (\frac{\sqrt{x} - \sqrt{7}}{x - 7}) принимает наибольшее значение (\frac{1}{\sqrt{7}}) при (x = 0).