При каких значениях дробь (корень а - корень 5)/(а-5) принимает наибольшее значение?

Давайте рассмотрим дробь (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a - 5}) и выясним, при каких значениях переменной (a) она принимает наибольшее значение.

Во-первых, стоит отметить, что дробь определена при (a \neq 5), так как при (a = 5) знаменатель обнуляется, что делает выражение неопределённым.

Рассмотрим предел данного выражения при (a \to 5). Для этого можно использовать метод раскрытия неопределённости, например, правило Лопиталя, так как дробь (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a - 5}) имеет неопределённость вида (\frac{0}{0}) при (a = 5).

Применим правило Лопиталя:

[ \lim{a \to 5} \frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a - 5} = \lim{a \to 5} \frac{\frac{d}{da}(\sqrt{a} - \sqrt{5})}{\frac{d}{da}(a - 5)} = \lim_{a \to 5} \frac{\frac{1}{2\sqrt{a}}}{1} = \frac{1}{2\sqrt{5}} ]

Предел (\frac{1}{2\sqrt{5}}) является значением дроби при (a), стремящемся к 5. Однако этот предел не отвечает на вопрос, при каких значениях (a) дробь принимает наибольшее значение.

Чтобы найти абсолютное наибольшее значение дроби, стоит рассмотреть производную функции:

[ f(a) = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a - 5} ]

Для этого можно переписать (f(a)) в виде:

[ f(a) = \frac{1}{a - 5} (\sqrt{a} - \sqrt{5}) ]

Рассмотрим производную функции (f(a)):

[ f'(a) = \frac{d}{da} \left( \frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a - 5} \right) ]

Используем правило дифференцирования частного:

[ f'(a) = \frac{(a - 5) \cdot \frac{1}{2\sqrt{a}} - (\sqrt{a} - \sqrt{5}) \cdot 1}{(a - 5)^2} ]

Упростим числитель:

[ f'(a) = \frac{\frac{a - 5}{2\sqrt{a}} - (\sqrt{a} - \sqrt{5})}{(a - 5)^2} ]

Для нахождения критических точек приравняем числитель к нулю:

[ \frac{a - 5}{2\sqrt{a}} - \sqrt{a} + \sqrt{5} = 0 ]

Умножим на (2\sqrt{a}) для удобства:

[ a - 5 - 2a\sqrt{a} + 2\sqrt{5a} = 0 ]

Это уравнение достаточно сложно аналитически решить, поэтому можно использовать численные методы. Однако, заметим, что функция (f(a)) стремится к пределу (\frac{1}{2\sqrt{5}}) при (a) стремящемся к 5 и уменьшается при удалении от этой точки.

Таким образом, наибольшее значение дробь (\frac{\sqrt{a} - \sqrt{5}}{a - 5}) принимает при (a), очень близком к 5, и это значение равно (\frac{1}{2\sqrt{5}}).

Для того чтобы найти, при каких значениях дробь (корень а - корень 5)/(а-5) принимает наибольшее значение, мы можем воспользоваться методом производных.

Сначала найдем производную данной функции: f(a) = (sqrt(a) - sqrt(5))/(a-5)

f'(a) = (1/(2sqrt(a)) (a - 5) - (sqrt(a) - sqrt(5)))/(a-5)^2

Далее приравняем производную к нулю и найдем критические точки: (1/(2sqrt(a)) (a - 5) - (sqrt(a) - sqrt(5)))/(a-5)^2 = 0

1/(2sqrt(a)) (a - 5) - (sqrt(a) - sqrt(5)) = 0 a/2 - 5/2 - sqrt(a) + sqrt(5) = 0 a/2 - sqrt(a) = 5/2 - sqrt(5) a - 2sqrt(a) = 5 - 2sqrt(5) (sqrt(a) - sqrt(5))^2 = 0 a = 5

Таким образом, наибольшее значение функция принимает при a = 5.