При каких целых значениях p является целым числом значение выражения (2p+1)^2-3p+2/p. Объясните пожалуйста...

Для того чтобы найти при каких целых значениях ( p ) выражение ( \frac{(2p+1)^2 - 3p + 2}{p} ) является целым числом, нужно убедиться, что числитель данной дроби делится на знаменатель без остатка.

1. Возьмем выражение и упростим его: [ \frac{(2p+1)^2 - 3p + 2}{p} = \frac{4p^2 + 4p + 1 - 3p + 2}{p} = \frac{4p^2 + p + 3}{p} ]

2. Разделим числитель на знаменатель: [ 4p^2 + p + 3 = 4p^2 + p + 3 ] Как видно, выражение ( 4p^2 + p + 3 ) делится на ( p ) с остатком ( 3 ). Для того чтобы дробь была целым числом, остаток должен быть равен нулю. То есть, ( 3 ) должно делиться на ( p ) нацело.

3. Значения ( p ), при которых ( 3 ) делится нацело, это ( p = \pm1, \pm3 ):

   • Если ( p = 1 ), то ( \frac{4 \cdot 1^2 + 1 + 3}{1} = 8 ) — целое число.
   • Если ( p = -1 ), то ( \frac{4 \cdot (-1)^2 -1 + 3}{-1} = -6 ) — целое число.
   • Если ( p = 3 ), то ( \frac{4 \cdot 3^2 + 3 + 3}{3} = 15 ) — целое число.
   • Если ( p = -3 ), то ( \frac{4 \cdot (-3)^2 -3 + 3}{-3} = -15 ) — целое число.

Таким образом, целыми значениями ( p ), при которых выражение ( \frac{(2p+1)^2 - 3p + 2}{p} ) является целым числом, являются ( p = \pm1, \pm3 ).

Для того чтобы выражение (2p+1)^2-3p+2/p было целым числом, необходимо чтобы числитель также был целым числом и делился нацело на знаменатель.

Разложим числитель на множители: (2p+1)^2-3p+2 = 4p^2 + 4p + 1 - 3p + 2 = 4p^2 + p + 3

Теперь проверим, при каких целых значениях p это выражение является целым числом. Для этого необходимо, чтобы остаток от деления 4p^2 + p + 3 на p был равен нулю.

Разделим 4p^2 + p + 3 на p: 4p^2 + p + 3 = p(4p + 1) + 3

Как видно из этого выражения, остаток от деления равен 3, поэтому данное выражение не является целым числом ни при каких целых значениях p.