При каких целых значениях p является целым числом значение выражения (2p+1)^2-3p+2/p. Объясните пожалуйста...

Тематика Алгебра
Уровень 5 - 9 классы
математика алгебра решение уравнений целые числа делимость
0

При каких целых значениях p является целым числом значение выражения (2p+1)^2-3p+2/p. Объясните пожалуйста как узнать

avatar
задан 11 месяцев назад

2 Ответа

0

Для того чтобы найти при каких целых значениях ( p ) выражение ( \frac{(2p+1)^2 - 3p + 2}{p} ) является целым числом, нужно убедиться, что числитель данной дроби делится на знаменатель без остатка.

  1. Возьмем выражение и упростим его: [ \frac{(2p+1)^2 - 3p + 2}{p} = \frac{4p^2 + 4p + 1 - 3p + 2}{p} = \frac{4p^2 + p + 3}{p} ]

  2. Разделим числитель на знаменатель: [ 4p^2 + p + 3 = 4p^2 + p + 3 ] Как видно, выражение ( 4p^2 + p + 3 ) делится на ( p ) с остатком ( 3 ). Для того чтобы дробь была целым числом, остаток должен быть равен нулю. То есть, ( 3 ) должно делиться на ( p ) нацело.

  3. Значения ( p ), при которых ( 3 ) делится нацело, это ( p = \pm1, \pm3 ):

    • Если ( p = 1 ), то ( \frac{4 \cdot 1^2 + 1 + 3}{1} = 8 ) — целое число.
    • Если ( p = -1 ), то ( \frac{4 \cdot (-1)^2 -1 + 3}{-1} = -6 ) — целое число.
    • Если ( p = 3 ), то ( \frac{4 \cdot 3^2 + 3 + 3}{3} = 15 ) — целое число.
    • Если ( p = -3 ), то ( \frac{4 \cdot (-3)^2 -3 + 3}{-3} = -15 ) — целое число.

Таким образом, целыми значениями ( p ), при которых выражение ( \frac{(2p+1)^2 - 3p + 2}{p} ) является целым числом, являются ( p = \pm1, \pm3 ).

avatar
ответил 11 месяцев назад
0

Для того чтобы выражение (2p+1)^2-3p+2/p было целым числом, необходимо чтобы числитель также был целым числом и делился нацело на знаменатель.

Разложим числитель на множители: (2p+1)^2-3p+2 = 4p^2 + 4p + 1 - 3p + 2 = 4p^2 + p + 3

Теперь проверим, при каких целых значениях p это выражение является целым числом. Для этого необходимо, чтобы остаток от деления 4p^2 + p + 3 на p был равен нулю.

Разделим 4p^2 + p + 3 на p: 4p^2 + p + 3 = p(4p + 1) + 3

Как видно из этого выражения, остаток от деления равен 3, поэтому данное выражение не является целым числом ни при каких целых значениях p.

avatar
ответил 11 месяцев назад

Ваш ответ

Вопросы по теме