При каких целых значениях b является целым числом значение выражения(b-2)^2+8b+1/b

Для того чтобы выражение ((b-2)^2 + 8b + \frac{1}{b}) было целым числом, необходимо, чтобы дробная часть этого выражения, т.е. (\frac{1}{b}), также была целым числом. Это возможно только в случае, если (b) является делителем числа 1. Единственными целыми делителями числа 1 являются 1 и -1.

Теперь мы можем подставить эти значения в исходное выражение и проверить, какие значения оно принимает:

1. Подставляем (b = 1): [ (b-2)^2 + 8b + \frac{1}{b} = (1-2)^2 + 8 \cdot 1 + \frac{1}{1} = 1 + 8 + 1 = 10 ]

2. Подставляем (b = -1): [ (b-2)^2 + 8b + \frac{1}{b} = (-1-2)^2 + 8 \cdot (-1) + \frac{1}{-1} = 9 - 8 - 1 = 0 ]

Таким образом, значение выражения является целым числом при (b = 1) и (b = -1).

Для того чтобы значение выражения [(b-2)^2 + 8b + 1] / b было целым числом, нужно, чтобы числитель был кратен b. Раскрыв числитель и объединив подобные слагаемые, получаем: b^2 - 4b + 4 + 8b + 1 = b^2 + 4b + 5 Теперь у нас есть выражение b^2 + 4b + 5, и чтобы оно было кратно b, нужно чтобы 5 было кратно b. Таким образом, при значениях b, которые являются делителями числа 5 (то есть b может быть равно 1 или 5), значение выражения будет являться целым числом.

Выражение будет целым числом при любом целом значении b.