При каких а значение дроби а^3-2a^2-9а+18 --------------------- а^2-4 равно нулю? -------- это черта...

Для того чтобы выразить, при каких значениях а дробь равна нулю, необходимо решить уравнение, полученное при приравнивании дроби к нулю.

Таким образом, уравнение будет выглядеть следующим образом: (а^3-2a^2-9a+18) / (а^2-4) = 0

Для начала, необходимо упростить числитель и знаменатель дроби:

а^3-2a^2-9a+18 = а^2(а-2)-9(а-2) = (а-2)(а^2-9) = (а-2)(а+3)(а-3)

а^2-4 = (а+2)(а-2)

Теперь подставим упрощенные значения обратно в уравнение:

(а-2)(а+3)(а-3) / (а+2)(а-2) = 0

Для того чтобы дробь была равна нулю, числитель должен быть равен нулю: (а-2)(а+3)(а-3) = 0

Таким образом, решая полученное уравнение, получим значения а, при которых исходная дробь равна нулю:

а = 2, а = -3, а = 3

Чтобы найти значения ( a ), при которых выражение

[ \frac{a^3 - 2a^2 - 9a + 18}{a^2 - 4} ]

равно нулю, нужно выполнить несколько шагов.

1. Определение нуля числителя: Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Таким образом, нам нужно решить уравнение:

   [ a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = 0 ]

2. Разложение числителя на множители: Попробуем найти корни полинома ( a^3 - 2a^2 - 9a + 18 ). Начнем с поиска рациональных корней, используя теорему о рациональных корнях. Возможные рациональные корни – это делители свободного члена (18) деленные на делители старшего коэффициента (1). Таким образом, возможные корни: ( \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18 ).

   Проверим эти значения:

   • Для ( a = 1 ): [ 1^3 - 2 \cdot 1^2 - 9 \cdot 1 + 18 = 1 - 2 - 9 + 18 = 8 \neq 0 ]

   • Для ( a = -1 ): [ (-1)^3 - 2 \cdot (-1)^2 - 9 \cdot (-1) + 18 = -1 - 2 + 9 + 18 = 24 \neq 0 ]

   • Для ( a = 2 ): [ 2^3 - 2 \cdot 2^2 - 9 \cdot 2 + 18 = 8 - 8 - 18 + 18 = 0 ]

   Таким образом, ( a = 2 ) является корнем. Теперь можно выполнить деление полинома ( a^3 - 2a^2 - 9a + 18 ) на ( a - 2 ) методом деления многочленов или схемой Горнера.

   При делении получаем: [ a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = (a - 2)(a^2 + 0a - 9) ]

   Теперь решим квадратное уравнение ( a^2 - 9 = 0 ): [ a^2 - 9 = 0 \implies a^2 = 9 \implies a = \pm 3 ]

   Таким образом, числитель можно разложить как: [ a^3 - 2a^2 - 9a + 18 = (a - 2)(a - 3)(a + 3) ]

3. Определение нуля знаменателя: Знаменатель не должен быть равен нулю. Решим уравнение ( a^2 - 4 = 0 ): [ a^2 - 4 = 0 \implies a^2 = 4 \implies a = \pm 2 ]

   Значит, ( a \neq 2 ) и ( a \neq -2 ).

4. Определение допустимых значений ( a ): Таким образом, значения ( a ), при которых дробь равна нулю, это корни числителя, кроме тех, при которых знаменатель равен нулю: [ a = 2, 3, -3 ]

   Но ( a = 2 ) исключается, так как при этом знаменатель равен нулю. Таким образом, остаются: [ a = 3 \quad \text{и} \quad a = -3 ]

Итак, дробь

[ \frac{a^3 - 2a^2 - 9a + 18}{a^2 - 4} ]

равна нулю при ( a = 3 ) и ( a = -3 ).