Представьте дробь 5x-1/x^2-x-2 в виде суммы двух дробей знаменатели которых являются двучленами первой...

5x-1/x^2-x-2 = (Ax + B)/(x-2) + (Cx + D)/(x+1), где A, B, C, D - целые числа.

Чтобы представить дробь (\frac{5x-1}{x^2-x-2}) в виде суммы двух дробей, знаменатели которых являются двучленами первой степени с целыми коэффициентами, нужно сначала разложить знаменатель на линейные множители.

1. Разложение знаменателя:

Знаменатель (x^2 - x - 2) нужно разложить на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения (x^2 - x - 2 = 0) с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9 ]

Корни уравнения находятся по формуле:

[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 3}{2} ]

Это дает нам корни (x_1 = 2) и (x_2 = -1). Таким образом, знаменатель можно разложить на множители:

[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) ]

1. Представление дроби в виде суммы:

Теперь представим дробь (\frac{5x-1}{(x-2)(x+1)}) в виде суммы двух дробей:

[ \frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} ]

Где (A) и (B) — коэффициенты, которые нужно найти. Приведем правую часть к общему знаменателю:

[ \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1} = \frac{A(x+1) + B(x-2)}{(x-2)(x+1)} ]

Объединим числители:

[ A(x+1) + B(x-2) = Ax + A + Bx - 2B = (A + B)x + (A - 2B) ]

Приравняем числители:

[ (A + B)x + (A - 2B) = 5x - 1 ]

Из этого уравнения получаем систему:

[ \begin{cases} A + B = 5 \ A - 2B = -1 \end{cases} ]

Решим эту систему:

1. Из первого уравнения выразим (A): (A = 5 - B).
2. Подставим во второе уравнение:

[ 5 - B - 2B = -1 \quad \Rightarrow \quad 5 - 3B = -1 \quad \Rightarrow \quad 3B = 6 \quad \Rightarrow \quad B = 2 ]

1. Подставим значение (B) в выражение для (A):

[ A = 5 - B = 5 - 2 = 3 ]

Таким образом, дробь можно представить в виде:

[ \frac{5x-1}{(x-2)(x+1)} = \frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1} ]

Ответ: (\frac{3}{x-2} + \frac{2}{x+1}).

Для представления дроби 5x - 1 / x^2 - x - 2 в виде суммы двух дробей с знаменателями в виде двучленов первой степени с целыми коэффициентами, сначала разложим знаменатель на множители: x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1).

Теперь представим дробь в виде суммы двух дробей: (Ax + B) / (x - 2) + (Cx + D) / (x + 1).

Умножим обе части этого равенства на знаменатель и сравним коэффициенты при одинаковых степенях x. Получим систему уравнений:

5x - 1 = (Ax + B)(x + 1) + (Cx + D)(x - 2).

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням x, затем приравняем коэффициенты при одинаковых степенях. Решив эту систему, найдем значения коэффициентов A, B, C, D и получим искомое представление дроби.