Прямая у=5х + 14 является касательной графику функций у=х^3 - 4x^2 + 9x + 14. Найти абциссу точки касания.

Для того чтобы найти абсциссу точки касания, необходимо найти точку пересечения прямой и графика функции.

Подставим уравнение прямой у=5х+14 в уравнение функции у=х^3-4x^2+9x+14: 5х+14=х^3-4x^2+9x+14

Упростим уравнение: 0=х^3-4x^2+4x

Теперь найдем корни уравнения: х(х^2-4x+4)=0 х(x-2)^2=0

Отсюда получаем два корня: х=0 и х=2.

Таким образом, абсцисса точки касания равна 2.

Чтобы найти абсциссу точки касания прямой ( y = 5x + 14 ) и графика функции ( y = x^3 - 4x^2 + 9x + 14 ), необходимо выполнить несколько шагов:

1. Условие касания: Прямая является касательной к графику функции, если у них совпадают значения функции и её производной в точке касания.

2. Найдем производную функции: [ y = x^3 - 4x^2 + 9x + 14 ] Производная: [ y' = 3x^2 - 8x + 9 ]

3. Равенство производных: Для касательной прямой, угловой коэффициент ( m ) равен значению производной в точке касания. Здесь ( m = 5 ). Таким образом, уравнение: [ 3x^2 - 8x + 9 = 5 ]

4. Решим уравнение: [ 3x^2 - 8x + 9 = 5 ] Упростим: [ 3x^2 - 8x + 4 = 0 ] Это квадратное уравнение можно решить через дискриминант: [ D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16 ] Найдем корни: [ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 \pm 4}{6} ] [ x_1 = \frac{12}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} ]

5. Проверка совпадения значений функций: Подставим оба значения ( x ) в исходные уравнения, чтобы найти, при каком из них значения функции совпадают.

   Для ( x = 2 ): [ y = 5(2) + 14 = 10 + 14 = 24 ] [ y = 2^3 - 4 \times 2^2 + 9 \times 2 + 14 = 8 - 16 + 18 + 14 = 24 ]

   Для ( x = \frac{2}{3} ): [ y = 5 \times \frac{2}{3} + 14 = \frac{10}{3} + \frac{42}{3} = \frac{52}{3} ] [ y = \left(\frac{2}{3}\right)^3 - 4 \left(\frac{2}{3}\right)^2 + 9 \times \frac{2}{3} + 14 = \frac{8}{27} - \frac{16}{9} + 6 + 14 ]

   Преобразуем к общему знаменателю и проверяем, совпадает ли значение.

Поскольку значения совпадают для ( x = 2 ), абсцисса точки касания равна ( x = 2 ).