Пожалуйста решите уравнения:1)sinx=2/7. 2)cosx=3/2. 3)1+tg x/3=0. 4)2 cos²x+cosx-6=0. 5)sinx=2cosx.

1) sinx = 2/7 Найдем сначала обратный синус от 2/7: arcsin(2/7) ≈ 0.2915 Так как синус является периодической функцией, то sinx = 2/7 имеет бесконечное множество решений. Один из таких углов находится в первой четверти и равен arcsin(2/7) ≈ 0.2915 Также можно найти другие решения, добавляя к этому углу кратное периода синуса.

2) cosx = 3/2 Поскольку cosx не может превышать 1, уравнение cosx = 3/2 не имеет решений.

3) 1 + tg(x/3) = 0 tg(x/3) = -1 Находим обратный тангенс от -1: arctg(-1) = -π/4 x/3 = -π/4 x = -3π/4

4) 2cos²x + cosx - 6 = 0 Заменяем cosx = t: 2t² + t - 6 = 0 (2t - 3)(t + 2) = 0 t1 = 3/2, t2 = -2 cosx = 3/2 или cosx = -2 Поскольку cosx не может превышать 1, решением будет cosx = 3/2

5) sinx = 2cosx sinx = 2 * √(1 - sin²x) sinx = 2√(1 - sin²x) sin²x = 4(1 - sin²x) 5sin²x = 4 sin²x = 4/5 sinx = ±2√5/5 x = arcsin(±2√5/5) + 2πk, k - целое число.

1) x = arcsin(2/7) 2) Уравнение не имеет решений, так как косинус значения не может превышать 1. 3) x = arctan(-3) 4) Уравнение не имеет решений 5) x = π/6 + 2πn, x = 5π/6 + 2πn (где n - целое число)

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности и решим их:

1) (\sin x = \frac{2}{7}).

Это уравнение можно решить, найдя арксинус:

[ x = \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n ]

[ x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n ]

где ( n ) — любое целое число. Арксинус (\frac{2}{7}) находится в пределах от (-\frac{\pi}{2}) до (\frac{\pi}{2}).

2) (\cos x = \frac{3}{2}).

Такого значения косинуса не существует, поскольку (\cos x) всегда находится в пределах от -1 до 1. Следовательно, уравнение не имеет решений.

3) (1 + \frac{\tan x}{3} = 0).

Сначала упростим уравнение:

[ \frac{\tan x}{3} = -1 ]

[ \tan x = -3 ]

Уравнение решается, используя арктангенс:

[ x = \arctan(-3) + \pi n ]

где ( n ) — любое целое число.

4) (2 \cos^2 x + \cos x - 6 = 0).

Обозначим ( y = \cos x ), тогда уравнение станет:

[ 2y^2 + y - 6 = 0 ]

Решим квадратное уравнение:

Дискриминант: ( D = 1^2 - 4 \times 2 \times (-6) = 1 + 48 = 49 ).

Корни:

[ y_1 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} ]

[ y_2 = \frac{-1 - \sqrt{49}}{4} = \frac{-8}{4} = -2 ]

Так как (\cos x) должен находиться в пределах от -1 до 1, решения для ( y_1 = \frac{3}{2} ) и ( y_2 = -2 ) не подходят. Следовательно, уравнение не имеет решений.

5) (\sin x = 2 \cos x).

Разделим обе части уравнения на (\cos x) (при условии, что (\cos x \neq 0)):

[ \tan x = 2 ]

Решение:

[ x = \arctan(2) + \pi n ]

где ( n ) — любое целое число.

Таким образом, решения для данных уравнений следующие:

1) ( x = \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n ) и ( x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{7}\right) + 2\pi n ).

2) Нет решений.

3) ( x = \arctan(-3) + \pi n ).

4) Нет решений.

5) ( x = \arctan(2) + \pi n ).