Пожалуйста решите систему неравенств x² +y² =16 и x+y = -2!

Для решения данной системы неравенств можно воспользоваться методом подстановки или методом исключения переменных.

1. Метод подстановки: Из уравнения x + y = -2 можно выразить, например, y = -2 - x. Подставим это выражение в уравнение x² + y² = 16: x² + (-2 - x)² = 16 x² + 4 + 4x + x² = 16 2x² + 4x - 12 = 0 x² + 2x - 6 = 0 (x + 3)(x - 2) = 0 Отсюда получаем два возможных значения переменной x: x = -3 или x = 2.

Подставим найденные значения x обратно в уравнение x + y = -2: 1) При x = -3: -3 + y = -2 => y = -2 + 3 = 1 2) При x = 2: 2 + y = -2 => y = -2 - 2 = -4

Таким образом, получаем две пары значений переменных x и y: (-3, 1) и (2, -4).

1. Метод исключения переменных: Из уравнения x + y = -2 можно выразить, например, y = -2 - x. Подставим это выражение в уравнение x² + y² = 16: x² + (-2 - x)² = 16 x² + 4 + 4x + x² = 16 2x² + 4x + 4 = 16 2x² + 4x - 12 = 0 x² + 2x - 6 = 0 (x + 3)(x - 2) = 0 Отсюда получаем два возможных значения переменной x: x = -3 или x = 2.

Подставим найденные значения x обратно в уравнение x + y = -2: 1) При x = -3: -3 + y = -2 => y = -2 + 3 = 1 2) При x = 2: 2 + y = -2 => y = -2 - 2 = -4

Таким образом, получаем две пары значений переменных x и y: (-3, 1) и (2, -4).

Решение системы неравенств ( x^2 + y^2 = 16 ) и ( x + y = -2 ) требует нахождения значений ( x ) и ( y ), которые удовлетворяют обоим уравнениям одновременно.

Шаг 1: Анализ уравнений

1. Первое уравнение ( x^2 + y^2 = 16 ) описывает окружность с центром в точке (0,0) и радиусом 4, так как радиус окружности равен квадратному корню из 16.
2. Второе уравнение ( x + y = -2 ) описывает прямую линию в координатной плоскости.

Шаг 2: Выразим ( y ) через ( x )

Из второго уравнения ( x + y = -2 ) выразим ( y ): [ y = -2 - x ]

Шаг 3: Подставим ( y ) в первое уравнение

Подставив ( y = -2 - x ) в уравнение ( x^2 + y^2 = 16 ), получим: [ x^2 + (-2 - x)^2 = 16 ]

Шаг 4: Раскроем скобки и упростим уравнение

Раскроем скобки и упростим: [ x^2 + (4 + 4x + x^2) = 16 ] [ x^2 + 4 + 4x + x^2 = 16 ] [ 2x^2 + 4x + 4 = 16 ]

Шаг 5: Приведем уравнение к стандартному виду

Приведем уравнение к виду ( ax^2 + bx + c = 0 ): [ 2x^2 + 4x + 4 - 16 = 0 ] [ 2x^2 + 4x - 12 = 0 ]

Шаг 6: Упростим уравнение

Разделим все уравнение на 2: [ x^2 + 2x - 6 = 0 ]

Шаг 7: Решим квадратное уравнение

Используем дискриминант для решения квадратного уравнения ( x^2 + 2x - 6 = 0 ): [ D = b^2 - 4ac ] [ D = 2^2 - 4(1)(-6) ] [ D = 4 + 24 ] [ D = 28 ]

Корни квадратного уравнения находятся по формуле: [ x{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} ] [ x{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} ] [ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{7}}{2} ] [ x_1 = -1 + \sqrt{7} ] [ x_2 = -1 - \sqrt{7} ]

Шаг 8: Найдем соответствующие значения ( y )

Для каждого значения ( x ), найдем ( y ) из уравнения ( y = -2 - x ):

1. Для ( x_1 = -1 + \sqrt{7} ): [ y_1 = -2 - (-1 + \sqrt{7}) ] [ y_1 = -2 + 1 - \sqrt{7} ] [ y_1 = -1 - \sqrt{7} ]

2. Для ( x_2 = -1 - \sqrt{7} ): [ y_2 = -2 - (-1 - \sqrt{7}) ] [ y_2 = -2 + 1 + \sqrt{7} ] [ y_2 = -1 + \sqrt{7} ]

Итоговое решение

Система уравнений имеет два решения: [ (x_1, y_1) = (-1 + \sqrt{7}, -1 - \sqrt{7}) ] [ (x_2, y_2) = (-1 - \sqrt{7}, -1 + \sqrt{7}) ]

Эти точки являются решениями системы уравнений и удовлетворяют обоим исходным условиям.

x = -1, y = -1