Пожалуйста Мне нужно решить дробное рациональное уравнение 9 класс х-4/х+1 - 10/х²-1 = 3/8

Чтобы решить дробное рациональное уравнение, давайте сначала упростим его. Исходное уравнение выглядит следующим образом:

[ \frac{x - 4}{x + 1} - \frac{10}{x^2 - 1} = \frac{3}{8} ]

Мы видим, что в уравнении есть дроби. Начнем с того, что упростим выражение, заменив (x^2 - 1) на его факторизацию:

[ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) ]

Теперь можно переписать уравнение:

[ \frac{x - 4}{x + 1} - \frac{10}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3}{8} ]

Далее, чтобы избавиться от дробей, найдем общий знаменатель для левой части уравнения. Общий знаменатель будет ( (x - 1)(x + 1) ). Умножим все части уравнения на этот общий знаменатель:

[ (x - 1)(x + 1) \cdot \frac{x - 4}{x + 1} - (x - 1)(x + 1) \cdot \frac{10}{(x - 1)(x + 1)} = (x - 1)(x + 1) \cdot \frac{3}{8} ]

После умножения у нас получится:

[ (x - 1)(x - 4) - 10 = \frac{3}{8}(x^2 - 1) ]

Теперь раскроем скобки:

[ x^2 - 4x - x + 4 - 10 = \frac{3}{8}(x^2 - 1) ]

Соберем все слагаемые с одной стороны:

[ x^2 - 5x - 6 = \frac{3}{8}(x^2 - 1) ]

Умножим обе стороны на 8, чтобы избавиться от дроби:

[ 8(x^2 - 5x - 6) = 3(x^2 - 1) ]

Раскроем скобки:

[ 8x^2 - 40x - 48 = 3x^2 - 3 ]

Теперь соберем все на одной стороне:

[ 8x^2 - 3x^2 - 40x - 48 + 3 = 0 ]

Упростим:

[ 5x^2 - 40x - 45 = 0 ]

Разделим на 5:

[ x^2 - 8x - 9 = 0 ]

Теперь можем использовать формулу для решения квадратного уравнения (ax^2 + bx + c = 0):

[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} ]

Где (a = 1), (b = -8), (c = -9):

[ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9)}}{2 \cdot 1} ]

Посчитаем дискриминант:

[ D = 64 + 36 = 100 ]

Теперь подставим в формулу:

[ x = \frac{8 \pm 10}{2} ]

Решения:

[ x_1 = \frac{18}{2} = 9, \quad x_2 = \frac{-2}{2} = -1 ]

Теперь проверим, не приводят ли найденные значения к делению на ноль в исходном уравнении:

1. Для (x = 9): [ x^2 - 1 = 81 - 1 = 80 \quad (не равно 0) ] [ x + 1 = 10 \quad (не равно 0) ]

2. Для (x = -1): [ x^2 - 1 = 1 - 1 = 0 \quad (деление на ноль) ]

Таким образом, (x = -1) не является допустимым решением. Окончательное решение:

[ \boxed{9} ]

Давайте разберёмся с решением данного дробного рационального уравнения:

[ \frac{x-4}{x+1} - \frac{10}{x^2 - 1} = \frac{3}{8}. ]

Шаг 1: Упростим знаменатель ( x^2 - 1 )

Заметим, что ( x^2 - 1 ) можно разложить на множители по формуле разности квадратов: [ x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1). ] Таким образом, уравнение становится: [ \frac{x-4}{x+1} - \frac{10}{(x-1)(x+1)} = \frac{3}{8}. ]

Шаг 2: Найдём общий знаменатель

Общий знаменатель для дробей в левой части уравнения — это ((x+1)(x-1)). Преобразуем каждую дробь к общему знаменателю:

1. Первая дробь: [ \frac{x-4}{x+1} = \frac{(x-4)(x-1)}{(x+1)(x-1)}. ]

2. Вторая дробь уже имеет знаменатель ((x+1)(x-1)): [ \frac{10}{(x-1)(x+1)}. ]

Подставим в уравнение: [ \frac{(x-4)(x-1)}{(x+1)(x-1)} - \frac{10}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{8}. ]

Шаг 3: Объединим дроби в левой части

Теперь, так как знаменатели одинаковы, объединим дроби в числителе. Левую часть можно записать как одну дробь: [ \frac{(x-4)(x-1) - 10}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{8}. ]

Шаг 4: Раскроем скобки в числителе

Раскроем скобки в числителе ( (x-4)(x-1) - 10 ): [ (x-4)(x-1) = x^2 - x - 4x + 4 = x^2 - 5x + 4. ] Теперь числитель: [ x^2 - 5x + 4 - 10 = x^2 - 5x - 6. ]

Итак, дробь в левой части становится: [ \frac{x^2 - 5x - 6}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{8}. ]

Шаг 5: Применим пропорцию

Теперь у нас есть дробное уравнение: [ \frac{x^2 - 5x - 6}{(x+1)(x-1)} = \frac{3}{8}. ] Умножим обе части уравнения на ( 8(x+1)(x-1) ), чтобы избавиться от дробей (при этом считаем, что ( x \neq 1 ) и ( x \neq -1 ), так как эти значения обращают знаменатель в ноль): [ 8(x^2 - 5x - 6) = 3(x+1)(x-1). ]

Шаг 6: Раскроем скобки

Раскроем скобки слева и справа:

1. Левая часть: [ 8(x^2 - 5x - 6) = 8x^2 - 40x - 48. ]

2. Правая часть: [ 3(x+1)(x-1) = 3(x^2 - 1) = 3x^2 - 3. ]

Итак, уравнение становится: [ 8x^2 - 40x - 48 = 3x^2 - 3. ]

Шаг 7: Приведём всё к стандартному виду квадратного уравнения

Перенесём все члены в одну сторону: [ 8x^2 - 40x - 48 - 3x^2 + 3 = 0. ] Сократим подобные члены: [ 5x^2 - 40x - 45 = 0. ]

Шаг 8: Упростим уравнение

Разделим обе части уравнения на 5, чтобы коэффициенты стали меньше: [ x^2 - 8x - 9 = 0. ]

Шаг 9: Решим квадратное уравнение

Решаем уравнение ( x^2 - 8x - 9 = 0 ) с помощью дискриминанта: [ D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100. ] Найдём корни: [ x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 10}{2}. ]

1. ( x_1 = \frac{8 + 10}{2} = \frac{18}{2} = 9 ),
2. ( x_2 = \frac{8 - 10}{2} = \frac{-2}{2} = -1 ).

Шаг 10: Проверка на ОДЗ

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатели ((x+1)) и ((x-1)) не должны быть равны нулю. Это значит, что: [ x \neq 1 \quad \text{и} \quad x \neq -1. ] Следовательно, ( x = -1 ) исключается из решения.

Ответ:

Единственный корень уравнения: [ x = 9. ]